대푯값과 산포도

자료를 대표하는 값 — 평균·중앙값·최빈값#

자료 여러 개를 하나의 수로 요약한 것을 대푯값이라고 한다. 대표적으로 평균, 중앙값, 최빈값이 있다.

평균#

평균은 모든 자료를 더한 뒤 자료의 개수로 나눈 값이다.

한 모둠 5명의 하루 독서 시간(분) 자료를 예로 든다.

합: 20 + 30 + 25 + 35 + 40 = 150
평균: 150 ÷ 5 = 30분

중앙값#

자료를 크기 순서로 줄 세웠을 때 한가운데에 오는 값을 중앙값이라고 한다.

위 자료를 크기 순으로 나열하면 중앙에 오는 값이 중앙값이다.

자료가 짝수 개이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 삼는다.

최빈값#

자료에서 가장 많이 나오는 값을 최빈값이라고 한다.

신발 매장의 하루 판매 기록을 예로 든다.

250이 12켤레로 가장 많이 팔렸으므로 최빈값은 250이다. 신발 매장에서는 가장 많이 필요한 크기를 알아야 재고를 채울 수 있으므로, 평균보다 최빈값이 더 유용하다.

어떤 대푯값을 선택할까#

핵심 오개념 직격 — "평균이 같으면 분포도 같다"#

두 모둠의 체육 점수를 비교한다. (모든 점수는 가공 자료입니다.)

모둠 A

합 = 200, 평균 = 200 ÷ 4 = 50점

모둠 B

합 = 200, 평균 = 200 ÷ 4 = 50점

두 모둠의 평균은 모두 50점이다. 그러나 모둠 A는 48~52점으로 서로 비슷하고, 모둠 B는 20~80점으로 매우 들쑥날쑥하다.

평균만 봐서는 이 차이를 알 수 없다. 자료가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값이 산포도다.

분산과 표준편차 — 흩어짐을 숫자로#

편차#

각 자료에서 평균을 뺀 값을 편차라고 한다. 모둠 A와 B의 편차를 계산한다. (평균 = 50)

모둠 A 편차

편차의 합 = -2 + 0 + 0 + 2 = 0

모둠 B 편차

편차의 합 = -30 + (-10) + 10 + 30 = 0

편차를 그냥 합하면 항상 0이다. 양수와 음수가 서로 상쇄되기 때문이다.

분산 = 편차²의 평균#

편차를 제곱하면 음수가 사라진다. 제곱한 편차의 평균을 분산이라고 한다.

n은 자료의 개수다.

모둠 A 분산

편차² 합 = 4 + 0 + 0 + 4 = 8
분산 = 8 ÷ 4 = 2

모둠 B 분산

편차² 합 = 900 + 100 + 100 + 900 = 2000
분산 = 2000 ÷ 4 = 500

모둠 A의 분산(2)이 모둠 B(500)보다 훨씬 작다. 모둠 A가 평균 가까이 고르게 모여 있다는 사실이 숫자로 확인된다.

표준편차 = √분산#

분산의 단위는 원래 자료 단위의 제곱이다. 점수라면 분산의 단위는 점²이다. 다시 원래 단위로 돌아오려면 제곱근을 취한다.

표준편차(분산의 제곱근, 자료가 평균에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 나타냄)가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여 있다.

자료: 2, 4, 6, 8, 10 (평균 = 6)