이차함수의 그래프 — 포물선·꼭짓점·축을 한눈에

방정식에서 그래프로#

이차방정식은 "식의 값이 0이 되는 x"를 찾는 문제다. 이차함수는 같은 식에서 x를 계속 바꾸며 y값이 어떻게 변하는지 보는 관점이다.

좌표평면에 이 값을 표시하면 직선이 아니라 U자 또는 ∩자 모양의 곡선이 나타난다. 이 곡선을 포물선(이차함수의 그래프가 그리는 곡선)이라고 한다.

분수의 물줄기나 공을 던졌을 때의 궤적도 포물선으로 모델링할 수 있다.

표에서 포물선으로#

가장 단순한 이차함수 y = x²부터 본다.

x = -2와 x = 2일 때 y가 둘 다 4다. x = -1과 x = 1도 y가 둘 다 1이다.

좌우가 대칭이다.

이 점들을 좌표평면에 찍어 매끄럽게 이으면 가운데가 아래로 내려가고 좌우로 올라가는 포물선이 나온다.

꼭짓점과 축 읽기#

포물선에는 가장 낮거나 가장 높은 점이 하나 있다. y = x²에서는 (0, 0)이 가장 낮은 점이다.

이 점을 꼭짓점(포물선에서 가장 낮거나 가장 높은 점, (p, q)로 나타냄)이라고 한다.

꼭짓점을 지나면서 포물선을 정확히 좌우로 나누는 수직선을 축(포물선을 좌우 대칭으로 나누는 직선, x = p)이라고 한다. y = x²의 축은 x = 0이다.

조금 복잡한 함수를 본다.

x = 2일 때 y = 1로 가장 작다. 꼭짓점은 (2, 1), 축은 x = 2다.

이 형태 y = a(x-p)² + q를 꼭짓점형(꼭짓점 (p, q)와 a 값을 바로 읽을 수 있는 이차함수 형태)이라고 한다.

꼭짓점형을 쓰는 이유는 꼭짓점과 축을 바로 읽을 수 있기 때문이다.

• 꼭짓점: (p, q)
• 축: x = p

y = (x - 2)² + 1이라면 p = 2, q = 1이므로 꼭짓점은 (2, 1), 축은 x = 2다.

a의 부호가 방향을 결정한다#

y = x²은 아래가 뾰족하고 위로 열린다.

y = -x²에서는 y값의 부호가 반대로 바뀐다.

y = -x²은 x = 0일 때 y = 0이 가장 크고, 좌우로 갈수록 y가 작아진다. 위가 뾰족하고 아래로 열린다.

a > 0: 포물선이 위로 열리고, 꼭짓점이 최솟값(y가 가장 작은 값)이다.

a < 0: 포물선이 아래로 열리고, 꼭짓점이 최댓값(y가 가장 큰 값)이다.

공을 하늘로 던졌을 때의 궤적은 a < 0인 포물선으로 볼 수 있다. 꼭짓점은 공이 가장 높이 올라간 순간에 해당한다.

a의 절댓값이 클수록 포물선이 더 좁고 가파르며, 절댓값이 작을수록 옆으로 넓게 퍼진다.

표·그래프·식의 연결#

같은 이차함수를 표, 그래프, 식 세 가지 표상으로 나타낼 수 있다. y = x² - 4x + 3을 예로 든다.

표로 보기:

꼭짓점형으로 변환 — 완전제곱식(꼭짓점형을 만들기 위해 이차식을 (x-p)² + q 꼴로 변형하는 방법)을 이용한다.

꼭짓점: (2, -1), 축: x = 2

그래프 스케치:

표에서 x = 2일 때 y = -1이 최솟값이고, 꼭짓점형에서 읽은 (2, -1)과 일치한다. 세 표상이 같은 함수를 가리킨다.