실수를 수직선에 놓기 — 자와 컴퍼스로 √2 찍기

√2의 위치 문제#

√2는 1.414…처럼 소수점이 끝없이 이어지는 무리수다. 하지만 "끝없이 이어진다"는 말이 수직선 위의 위치가 불분명하다는 뜻은 아니다.

자와 컴퍼스를 사용하면 √2가 정확히 어느 점인지 작도할 수 있다.

정사각형 대각선 속의 √2#

가로·세로가 각각 1인 정사각형을 생각한다. 이 정사각형의 대각선 길이는 피타고라스 정리로 구할 수 있다.

피타고라스 정리를 적용하면 바로 나옵니다.

√2는 추상적인 기호가 아니라 가로·세로가 각각 1인 정사각형의 대각선 길이다.

컴퍼스로 √2를 수직선에 옮기기#

대각선 길이가 √2라면, 그 길이를 수직선 위로 그대로 옮기면 된다. 컴퍼스는 길이를 정확히 보존하는 도구다.

작도 순서 5단계

컴퍼스가 빗변 길이를 그대로 보존해 수직선에 옮기므로, 호와 수직선이 만나는 점은 정확히 √2다.

√3과 √5도 같은 방법으로 찾기#

같은 논리로 √3, √5도 작도할 수 있다.

√3 작도 방법: 수직선에 찍어 둔 √2 점 위에서 수직으로 1을 올리고, 빗변(길이 √3)을 컴퍼스로 수직선의 0에서부터 옮긴다.

이렇게 무리수도 수직선 위에 정확한 위치를 가진다.

실수 대소 비교 — 수직선 위치#

수직선 위에 무리수를 찍으면 비교가 눈에 들어옵니다.

규칙: 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다.

√2와 √3을 비교하면 수직선에서 √3이 더 오른쪽에 있으므로 √3 > √2다.

수직선을 그리기 어려울 때는 제곱 비교법을 쓴다. 양수끼리는 제곱해도 크기 순서가 유지되기 때문이다.

실수의 조밀성 — 수직선을 채우는 수#

유리수만으로는 수직선을 완전히 채울 수 없다.

1과 2 사이에는 1.1, 1.5, 1.9 같은 유리수가 있고, 더 촘촘히 보면 1.41, 1.414, 1.4142도 있다. 하지만 √2 = 1.41421356…는 유리수로 정확히 나타낼 수 없다. 유리수만으로 채우면 그 자리가 비어 있게 된다.

무리수가 그 빈자리를 채운다.

실수(유리수 + 무리수)가 수직선을 완전히, 빈틈없이 채운다. 이 성질을 실수의 조밀성이라고 한다.

수직선 위의 모든 점은 어떤 실수에 해당하고, 모든 실수는 수직선 위 정확한 한 점에 대응합니다.

작도와 비교 예시#

예시 1 — √2 작도 순서

√2 작도는 다음 순서로 정리된다.

순서: 3 → 2 → 4 → 1 → 5

예시 2 — 제곱으로 대소 비교

두 수가 모두 양수일 때는 제곱 값을 비교해 부등호를 정할 수 있다.

결과: > / < / < / <

예시 3 — 수 나열하기

2, √3, √5, 1.5, √2를 작은 수부터 나열하면 다음과 같다.

결과: √2 < 1.5 < √3 < 2 < √5