넓이 16인 정사각형의 한 변 — 제곱근의 시작

제곱근은 제곱의 반대 방향에서 출발한다.

"어떤 수를 두 번 곱하면 4가 되는가?"라는 질문이 바로 제곱근의 질문이다.

정사각형 넓이에서 제곱근 보기#

정사각형의 한 변의 길이가 4라면 넓이는 16이다.

이번에는 반대로 묻는다.

넓이가 16인 정사각형의 한 변의 길이는 얼마인가?

한 변의 길이는 4다.

이처럼 제곱근(제곱해서 a가 되는 수)은 정사각형의 넓이를 거꾸로 추적해 한 변을 찾는 개념이다.

다만 (-4) × (-4) = 16도 성립한다. 따라서 16의 제곱근은 4와 -4, 두 개다.

근호 √를 사용하는 이유#

제곱근을 매번 "제곱해서 a가 되는 양의 수"라고 쓰면 길다. 그래서 특별한 기호가 필요하다.

그 기호가 근호(√, 양의 제곱근을 나타내는 기호)다.

√ 기호는 항상 양의 제곱근만 나타낸다. 음의 제곱근은 앞에 -를 붙인다.

1, 4, 9, 16, 25, 36처럼 어떤 정수를 두 번 곱해서 만들 수 있는 수를 완전제곱수(어떤 정수를 두 번 곱해서 만든 수)라고 한다.

넓이가 2인 정사각형에서는 상황이 달라진다.

1 × 1 = 1은 모자라고, 2 × 2 = 4는 너무 크다.

이 길이는 √2라고 쓰지만, 딱 떨어지는 정수가 아니다. √2 ≈ 1.414...처럼 소수점이 끝없이 이어진다.

무리수와 실수 — 수의 범위 확장#

유리수는 분수 형태 a/b로 나타낼 수 있는 수다. 정수, 유한소수, 순환소수가 모두 유리수에 속한다.

그런데 √2는 분수로 정확히 나타낼 수 없다. 이런 수를 무리수(분수로 나타낼 수 없는 수, 소수점 이하가 규칙 없이 끝없이 이어지는 수)라고 한다.

무리수의 대표적인 예는 √2와 π다.

반면 유리수 1/3은 0.333...처럼 같은 숫자가 반복된다. 반복 여부가 유리수와 무리수를 가르는 중요한 단서다.

수의 포함 관계는 다음처럼 정리된다.

실수(유리수와 무리수를 모두 포함하는 수의 집합)는 수직선 위의 모든 점에 대응한다. 유리수만으로는 수직선의 빈자리가 있고, 무리수가 그 빈자리를 채운다.

핵심은 √2처럼 완전제곱수가 아닌 수의 제곱근은 무리수라는 점이다. "1.414"는 근삿값일 뿐 정확한 값이 아니다.

자주 헷갈리는 점#

제곱근을 처음 배울 때 자주 나오는 오개념은 기호의 의미를 구분하지 못하는 데서 생긴다.

"√(-1)이 존재한다"는 생각: √(-1) 같은 음수의 제곱근은 중3 수준에서는 다루지 않는다. 어떤 실수를 두 번 곱해도 음수가 나오지 않기 때문에 실수 범위에서는 음수의 제곱근이 없다.

"√9 = ±3"이라고 쓰는 것: 9의 제곱근은 3과 -3, 두 개가 맞다. 하지만 √9는 양의 값인 3만 가리킨다. √ 기호는 "양의 제곱근"이라는 약속이다.

"√2 = 1.414"라고 등호로 쓰는 것: √2 ≈ 1.414다. 등호(=)를 쓰면 정확히 같다는 뜻이 되므로 틀린다. 1.414는 반올림된 근삿값이다.

주요 개념#