다항식 곱셈과 인수분해

넓이 모델에서 공식으로#

두 다항식의 곱은 분배법칙으로 계산한다. (2x + 3)(x + 1)처럼 직사각형을 네 조각으로 나누어 더하면 각 항이 어디서 나오는지 보인다.

정사각형 넓이를 두 가지 방식으로 계산하면 곱셈 공식이 나온다. 그리고 그 공식을 거꾸로 읽으면 인수분해가 된다.

(a+b)² — 정사각형에서 나오는 공식#

한 변의 길이가 (a + b)인 정사각형의 넓이를 두 가지 방법으로 구한다.

방법 1 — 한 변 × 한 변

넓이 = (a + b) × (a + b) = (a + b)²

방법 2 — 네 조각으로 잘라 더하기

정사각형 안을 a 부분과 b 부분으로 나누면 조각이 네 개 나온다.

조각의 합: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

두 방법의 결과가 같으니:

(a-b)²와 합차 공식 — 부호의 역할#

(a - b)² — 가운데 항 부호가 음수#

같은 원리로 한 변이 (a - b)인 정사각형을 생각한다. a 대신 (a - b)를 넣으면:

가운데 항은 -2ab가 된다. 부호는 음수로 바뀌지만 마지막 항 b²는 항상 양수다. (-b) × (-b) = +b²이기 때문이다.

(a + b)(a - b) — 가운데 항이 사라진다#

분배법칙으로 전개하면:

(a + b)(a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b²

-ab와 +ab가 정확히 상쇄된다. 이것을 합차 공식이라고 한다. 합과 차를 곱하면 제곱의 차만 남는다.

공식을 거꾸로 읽으면 인수분해#

곱셈 공식은 전개, 즉 괄호를 풀어 펼치는 방향이다.

인수분해는 그 반대로 펼쳐진 식을 다시 괄호로 묶는 과정이다.

공통인수 먼저 꺼내기#

인수분해의 첫 번째 단계는 공통인수 추출이다.

두 항 모두 2x를 포함하면 2x를 밖으로 꺼낸다.

완전제곱식 인수분해#

패턴을 보고 공식을 역방향으로 쓴다.

x² + 6x + 9 → 마지막 항 9 = 3², 가운데 6x = 2 × x × 3 → (x + 3)²

합차 공식 인수분해#

x² - 4 → x² - 2² → (x + 2)(x - 2)

일반 이차식 — 합·곱 조건으로 찾기#

x² + 5x + 6을 (x + a)(x + b)로 만들려면 다음 조건이 필요하다.

전개 결과가 x² + (a+b)x + ab이므로 a + b = 5, a × b = 6을 만족하는 두 수를 찾으면 된다.

합이 5이고 곱이 6인 두 수는 2와 3이다.

방정식으로의 연결#

인수분해는 이차방정식을 풀 때 바로 쓰인다. x² + 5x + 6 = 0은 (x+2)(x+3) = 0으로 바뀌고, 곱이 0이 되려면 x+2 또는 x+3 중 하나가 0이어야 한다. 그래서 x = -2 또는 x = -3을 얻는다.