원 안의 각도 관계

원 위의 점이 만드는 각#

원 위의 점을 이어 선분을 그으면 여러 각이 생긴다. 이 각들은 따로 움직이는 것처럼 보이지만, 같은 호를 바라보면 일정한 관계를 가진다.

핵심은 원주각이 같은 호를 보는 중심각의 절반이라는 성질이다.

원주각과 중심각#

원의 중심을 O라고 하고, 원의 테두리인 원주 위에 세 점 A, B, P를 둔다.

중심각 — O에서 A와 B로 선분을 그었을 때 만들어지는 각이다. 기호로 ∠AOB라고 쓰며, 꼭짓점이 원의 중심 O다.

원주각 — P에서 A와 B로 선분을 그었을 때 만들어지는 각이다. 기호로 ∠APB라고 쓰며, 꼭짓점이 원주 위의 점 P다.

두 각 모두 같은 호 AB(원주에서 A부터 B까지의 곡선 부분)를 바라본다.

원주각은 중심각의 절반#

P의 위치를 원주 위 여러 곳으로 옮겨 ∠APB를 재어 보면 같은 호를 바라보는 원주각이 일정하게 유지된다.

같은 호 AB에 대한 원주각은 P의 위치가 바뀌어도 항상 같다.

그리고 이때 중심각 ∠AOB를 재면 80°다.

즉 중심각 = 원주각 × 2다.

왜 항상 절반일까? O에서 P로 보조선을 하나 더 그으면 두 이등변삼각형이 나타난다. 두 반지름이 같으므로 OA = OP = OB이고, 각 삼각형의 밑각이 서로 같아진다. 그 각 관계를 이어 보면 원주각이 중심각의 정확히 절반임을 보일 수 있다.

두 가지 중요한 결론#

결론 1 — 같은 호의 원주각은 모두 같다#

같은 호 AB에 대해 원주 위 어디에 P를 찍어도 ∠APB는 언제나 같다.

중심각이 100°이면 같은 호에 대한 원주각은 항상 50°다. P가 어디에 있든 같은 호를 바라본다는 조건이 핵심이다.

결론 2 — 지름에 대한 원주각은 90°다#

호 AB가 지름이 되면 중심각은 180°(직선)다.

원주각 = 180° ÷ 2 = 90°

원의 지름 위에 반원을 그리고, 반원 위 어느 점에서 지름의 양 끝을 바라보아도 각도는 90°다. 이 성질은 직각삼각형을 작도할 때 유용하다.

원에 내접하는 사각형의 비밀#

원주 위에 점 네 개 A, B, C, D를 찍어 사각형을 만들면, 네 꼭짓점이 모두 원주 위에 있는 원에 내접하는 사각형(내접 사각형)이 된다.

마주 보는 두 각, 즉 대각을 더하면 180°가 된다.

이유는 원주각과 중심각의 절반 관계에 있다. ∠A는 호 BCD에 대한 원주각이고, ∠C는 호 DAB에 대한 원주각이다. 두 호에 대한 중심각을 더하면 원 전체인 360°이고, 원주각은 중심각의 절반이므로 ∠A + ∠C = 360° ÷ 2 = 180°다.

핵심 오개념 바로잡기#

같은 원주 위의 각이라고 해서 모두 같은 것은 아니다. 같은 호를 바라본다는 조건이 있어야 원주각이 같다. 또 중심각과 원주각을 비교할 때는 두 각이 같은 호에 대한 각인지 먼저 확인해야 한다.

통계로 이어지는 관점#

원 안의 각도 규칙은 도형의 구조를 수로 요약하는 방식이다. 통계에서는 자료의 구조를 평균, 중앙값, 산포도 같은 수로 요약한다. 대상은 달라지지만 "복잡한 관계를 핵심 수로 정리한다"는 관점은 이어진다.