이차방정식 풀기 — 인수분해·완전제곱식·근의 공식

인수분해를 방정식에 연결하기#

인수분해는 이차식을 곱의 형태로 바꾸는 방법이다. 방정식에서는 이 곱의 형태가 특히 중요하다.

이차방정식은 x²항이 포함된 등식에서 0이 되게 하는 x의 값을 찾는 문제다. x² + 5x + 6 = 0 같은 식을 인수분해, 완전제곱식, 근의 공식으로 풀 수 있다.

방법은 달라도 같은 방정식의 해는 같다. 여러 방법을 배우는 이유는 식의 형태에 따라 더 빠르고 안정적인 풀이가 달라지기 때문이다.

방법 1: 인수분해 — 곱이 0이 되는 조건#

두 수의 곱이 0이면 둘 중 적어도 하나는 0이다. 이것이 인수분해로 이차방정식을 푸는 핵심 아이디어다.

x² + 5x + 6 = 0을 인수분해하면 (x+2)(x+3) = 0이다.

(x+2) × (x+3) = 0

두 수의 곱이 0이면 둘 중 하나가 반드시 0이어야 한다.

검산한다.

x = -2 대입: (-2)² + 5×(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓

x = -3 대입: (-3)² + 5×(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓

풀이 순서 요약: 인수분해 → 각 인수 = 0으로 놓기 → 해 구하기 → 검산.

방법 2: 완전제곱식 — 인수분해가 안 될 때 쓰는 방법#

x² + 4x = 5처럼 바로 인수분해하기 어려울 때는 완전제곱식, 즉 (x+a)² 형태로 모양을 바꾸는 방법을 쓴다.

x² + 4x = 5에서 출발한다.

1단계: x의 계수 4를 반으로 나누면 2다. 그 제곱 4를 양변에 더한다.

2단계: 양변에 제곱근을 씌운다. 제곱근은 양수와 음수 두 가지이므로 ±가 붙는다.

3단계: 두 가지 경우로 나눈다.

완전제곱식은 "제곱한 값이 같으면 원래 값은 양수와 음수 두 방향을 모두 가질 수 있다"는 점을 드러낸다.

핵심 요령: x의 계수를 반으로 나누고, 그 값을 제곱해 양변에 더한다. 이 과정은 식을 (x+a)² 꼴로 만들기 위해 필요하다.

방법 3: 근의 공식 — 모든 이차방정식을 한 번에#

인수분해도, 완전제곱식도 번거로울 때는 근의 공식을 쓴다. x² + 3x + 1 = 0처럼 딱 떨어지는 인수가 보이지 않는 식에서도 사용할 수 있다.

ax² + bx + c = 0에서 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

x² + 3x + 1 = 0에서 a = 1, b = 3, c = 1이다. 이 값을 공식에 대입한다.

계산하면 두 해가 나온다.

해가 정수가 아니어도 근의 공식은 이차방정식의 해를 표현할 수 있다.

판별식 — 해의 개수를 먼저 판단하기#

근의 공식 안에 있는 b² - 4ac를 판별식 D라고 부른다. 해를 구하기 전에 D의 부호만 확인해도 실수 해의 개수를 판단할 수 있다.

예시:

x² - 6x + 9 = 0이면 D = 36 - 36 = 0이다. 해는 하나다. (x-3)² = 0이므로 x = 3만 나온다.

x² + x + 1 = 0이면 D = 1 - 4 = -3 < 0이다. 실수 해가 없다.

근의 공식을 쓰기 전에 판별식을 먼저 계산하면 D < 0인 경우 바로 "실수 해 없음"이라고 결론 낼 수 있다.

같은 문제를 세 방법으로 비교하기#

같은 방정식 x² - 4x + 3 = 0을 세 방법으로 비교한다.

방법 1 — 인수분해:

방법 2 — 완전제곱식 (b = -4이므로 절반 = -2, 제곱 = 4):

방법 3 — 근의 공식 (a=1, b=-4, c=3):

세 방법 모두 x = 1, x = 3을 얻는다.

방법 선택 요령: