직각삼각형의 변의 비 — sin·cos·tan의 세계

길이에서 비율로#

피타고라스 정리는 직각삼각형의 길이 사이 관계를 알려 준다. 삼각비는 길이 자체보다 변의 비율에 주목한다.

각도가 같으면 직각삼각형이 아무리 커지거나 작아져도 대응하는 변의 비율은 변하지 않는다. 이 성질을 정리한 것이 삼각비다.

경사로를 수로 나타내기#

경사로의 가파름은 기울기로 나타낼 수 있다. 같은 상황을 각도로 말하고 싶을 때 직각삼각형이 등장한다.

경사로를 직각삼각형으로 그리면 세 변이 나옵니다.

• 빗변: 경사로 자체 — 직각과 마주 보는 가장 긴 변
• 대변: 각도 θ와 마주 보는 변 — 높이
• 인접변: 각도 θ에 붙어 있는 변(빗변 제외) — 밑변

sin, cos, tan — 세 가지 비율#

θ가 같으면 삼각형 크기가 달라도 변의 비율은 항상 같다. 그 비율에 붙인 이름이 sin·cos·tan이다.

확인 예시 — 3-4-5 직각삼각형

빗변 5, 대변 4, 인접변 3인 삼각형에서 θ를 기준으로 계산하면:

• sin θ = 4/5 = 0.8
• cos θ = 3/5 = 0.6
• tan θ = 4/3 ≈ 1.333

덤으로 확인하면 sin²θ + cos²θ = (4/5)² + (3/5)² = 16/25 + 9/25 = 1이다. 이 관계는 어떤 예각에도 성립한다.

tan θ와 기울기의 연결: tan θ = 대변/인접변 = (y 변화량)/(x 변화량)이므로 기울기와 같은 비율이다. 탄젠트는 기울기를 각도와 연결해 주는 표현이다.

30°·45°·60° 특수각#

세 각도의 삼각비는 직각삼각형을 그려서 유도할 수 있다.

45° — 정사각형을 대각선으로#

한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 직각이등변삼각형이 나온다. 피타고라스 정리로 빗변은 √2다.

30°와 60° — 정삼각형을 반으로#

한 변이 2인 정삼각형을 절반으로 자르면 30°-60°-90° 직각삼각형이 나온다. 빗변 = 2, 인접변 = 1, 대변 = √3이다.

30°와 60°의 sin·cos가 서로 바뀌어 있는 이유는 한 각도의 대변이 다른 각도의 인접변이기 때문이다. 그래서 여각 관계 sin(90°-θ) = cos θ가 성립한다.

삼각비 표 읽기와 실생활 응용#

모든 각도의 삼각비 값은 표로 정리할 수 있다.

tan 90°는 값이 없다. 인접변이 0이 되면 나눗셈이 불가능하기 때문이다.

산의 높이 구하기: 산 아래에서 정상을 올려보는 각도가 30°, 수평 거리가 1000m라면?

경사로 각도 구하기: 길이 10m 경사로가 높이 5m인 곳으로 이어진다면?

직접 측정할 때의 주의점#

삼각비를 직접 측정으로 확인할 때는 기준 각 θ를 먼저 정해야 한다.

준비물: 종이, 자, 각도기 또는 삼각자

측정 절차

1. 종이에 직각삼각형을 하나 그리고 직각 표시를 한다.
2. 예각 하나를 θ로 정하고 각도기로 각도를 잰다.
3. 자로 빗변·대변·인접변의 길이를 cm 단위로 잰다.
4. sin θ, cos θ, tan θ를 계산한다.

해석: tan θ = 대변 ÷ 인접변이고, 이는 y 변화량 ÷ x 변화량과 같은 구조다.

조심할 점: 기준 각도를 바꾸면 대변과 인접변도 바뀐다. 같은 삼각형에서도 어느 각을 θ로 잡느냐에 따라 sin·cos·tan 값이 달라진다.