피타고라스 정리 증명 — a² + b² = c²의 넓이 해석

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타낸다.

공식 a² + b² = c²을 외우는 것보다 중요한 점은 왜 제곱이 등장하는지 이해하는 것이다. 넓이로 보면 그 이유가 분명해진다.

직각삼각형의 세 변#

직각삼각형에는 세 변이 있다.

직각을 이루는 두 변의 길이를 각각 a와 b라고 한다. 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이 빗변이고, 그 길이를 c라고 한다.

피타고라스 정리를 식으로 쓰면 다음 관계가 된다.

a = 3, b = 4, c = 5로 먼저 확인한다.

3² + 4² = 5²이므로 9 + 16 = 25가 된다. 이제 이 관계가 왜 항상 성립하는지 넓이로 증명한다.

넓이 분해로 증명하기#

이 증명은 같은 큰 정사각형의 넓이를 두 방식으로 비교해 a² + b² = c²을 이끌어 낸다.

준비: 한 변의 길이가 (a + b)인 큰 정사각형 종이 한 장

방법:

1. 각 꼭짓점에서 한 변을 따라 길이 a, 나머지 b만큼 점을 찍는다.
2. 네 점을 이으면 안쪽에 사각형이 생긴다.
3. 네 모퉁이에 생기는 삼각형을 분리한다.

네 삼각형을 분리하고 보면 가운데에 정사각형이 남는다. 이 가운데 정사각형의 한 변이 빗변 c다.

가운데 사각형이 정사각형인 이유는?

네 삼각형은 SAS 조건으로 모두 합동이다. 가운데 사각형의 각 꼭짓점에서는 직각삼각형의 두 예각이 만난다. 직각삼각형의 두 예각의 합은 90°이므로 가운데 사각형의 각도는 모두 90°다. 따라서 가운데 사각형은 정사각형이다.

이제 넓이를 비교한다.

2ab가 양쪽에 있어서 소거되면 a² + b² = c²이 남는다.

이것이 피타고라스 정리의 넓이 분해 증명이다.

피타고라스 정리의 활용#

a² + b² = c²은 직각삼각형 상황에서 모르는 변의 길이를 찾을 때 쓰인다.

사다리 높이 문제

벽에 사다리를 기대었다. 사다리 길이(빗변) c = 5 m, 바닥에서 벽까지 거리 a = 3 m일 때 사다리가 닿는 높이 b를 구할 수 있다.

직사각형 대각선

가로 6 cm, 세로 8 cm인 직사각형의 대각선 길이는?

피타고라스 수

a² + b² = c²을 만족하는 자연수 세 짝을 피타고라스 수라고 한다. 계산이 딱 떨어지므로 길이 문제에서 자주 쓰인다.

역도 성립한다 — 직각삼각형 확인법#

세 변의 길이가 주어졌을 때 a² + b² = c²이 성립하면 그 삼각형은 직각삼각형이다. 즉 피타고라스 정리의 역도 참이다.

일반적으로 역 명제는 항상 참이 아니다. 피타고라스 정리의 역은 참이며, 이 덕분에 세 변의 길이만 보고 직각삼각형인지 판단할 수 있다.

자주 틀리는 부분#

가장 흔한 실수는 빗변을 제대로 찾지 않고 아무 두 변을 a, b로 놓는 것이다. c는 반드시 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이어야 한다. 또 a² + b² = c²은 직각삼각형에서만 바로 사용할 수 있으므로, 일반 삼각형에 그대로 적용하면 안 된다.

주요 개념#