f'(x) 부호표 하나로 함수 그래프를 완전히 해부하는 법

앞선 글에 미분 법칙을 배웠다. f(x) = x³ − 3x² + 2를 미분하면 f'(x) = 3x² − 6x처럼 식 하나로 순간 변화율을 표현할 수 있게 됐다.

그런데 f'(x)를 구했다면, 그 다음에는 무엇을 알 수 있는가?

이 글에서는 f'(x)의 부호가 함수의 오르막과 내리막을 알려준다는 사실을 살펴본다. 부호표 하나로 그래프 전체를 스케치하는 방법을 익힌다.

부호표가 말해 주는 것#

f'(x)의 부호가 바뀌는 점에서 극값이 생기고, f''(x)의 부호가 바뀌는 점이 변곡점이다.

증감표를 작성하는 세 단계 — f'(x) 인수분해 → 영점 탐색 → 구간별 부호 점검 — 를 손으로 익히면, 그래프 스케치는 자동으로 따라온다. 빠르게 암기하는 것보다, 부호 하나하나를 천천히 채워 보는 경험이 더 중요하다.

f'(x)의 부호가 방향을 결정한다#

어떤 구간에서 함수가 오른쪽으로 갈수록 y 값이 커지면 증가한다. 반대면 감소하다.

접선의 기울기가 그 방향을 알려준다.

• f'(x) > 0인 구간 → 접선이 오른쪽 위로 기울어짐 → 증가
• f'(x) < 0인 구간 → 접선이 오른쪽 아래로 기울어짐 → 감소
• f'(x) = 0인 점 → 접선이 수평 → 방향이 바뀔 후보

f(x) = x³ − 3x로 확인한다.

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)

f'(x) = 0이 되는 점: x = −1, x = 1

이 부호표를 증감표라고 한다. f'(x)의 부호를 정리해 증가·감소 구간을 한눈에 나타낸 표이다.

x < −1에서 f'(x) = 3(x+1)(x−1)은 두 인수 모두 음수이니 곱이 양수이다. −1 < x < 1에서는 (x+1) > 0, (x−1) < 0이니 곱이 음수이다.

극값 — 방향이 바뀌는 순간#

증감표에서 f'(x)의 부호가 바뀌는 점을 특별히 살펴본다.

x = −1에서 부호가 + → −로 바뀌었다. 함수가 증가하다가 감소로 전환된다. 이처럼 극대 — f'(x)의 부호가 + → −로 바뀌는 점에서의 함수 값 — 가 된다.

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2. 극대값은 2이다.

x = 1에서 부호가 − → +로 바뀌었다. 감소하다가 증가로 전환된다. 극소 — f'(x)의 부호가 − → +로 바뀌는 점에서의 함수 값 — 가 된다.

f(1) = 1 − 3 = −2. 극솟값은 −2이다.

극대와 극소를 합쳐 극값이라고 한다.

자주 헷갈리는 점#

f''(x)와 변곡점 — 오목·볼록이 바뀌는 곳#

그래프를 더 정확하게 스케치하려면 "굽어 있는 방향"도 알아야 한다.

그릇처럼 위로 오목하게 휘어진 구간은 아래로 볼록 — 접선이 그래프 아래에 있고, f''(x) > 0인 구간(∪ 모양). 반대로 둥그렇게 아래로 처진 구간은 위로 볼록 — f''(x) < 0인 구간(∩ 모양).

이 정보는 이계도함수 — f'(x)를 다시 x에 대해 미분한 함수, f''(x)로 표기 — 에서 읽어 낸다.

f(x) = x³ − 3x에서:

f''(x) = 6x

• x < 0: f''(x) < 0 → 위로 볼록
• x > 0: f''(x) > 0 → 아래로 볼록

f''(x) = 0이 되는 x = 0에서 볼록 방향이 바뀐다. 이 점이 변곡점 — f''(x) = 0이 되며 볼록 방향이 전환되는 점이다.

f(0) = 0이므로 변곡점은 (0, 0)이다.

부호표 → 그래프 스케치 5단계#

지금까지 배운 도구를 합쳐 그래프를 그려 본다.

예제: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 11

Step 1. f'(x) 구하기

f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) → 영점: x = −1, x = 3

Step 2. f''(x) 구하기

f''(x) = 6x − 6 → 영점: x = 1

Step 3. 증감표와 볼록 표 합치기

Step 4. 주요 점 계산

• f(−1) = −1 − 3 + 9 + 11 = 16 → 극대점 (−1, 16)
• f(1) = 1 − 3 − 9 + 11 = 0 → 변곡점 (1, 0)
• f(3) = 27 − 27 − 27 + 11 = −16 → 극소점 (3, −16)

Step 5. 그래프 스케치

왼쪽에서 ∩ 모양으로 내려오다가, 변곡점 (1, 0)을 지나면서 ∪ 모양으로 바뀐다. 부호표의 정보가 그대로 그래프에 나타난다.

주요 개념#