속도계 바늘이 순간을 가리키는 방법 — 미분의 탄생

자동차 속도계 바늘을 본 적 있는가?

고속도로를 달리는 차 안에서 속도계는 끊임없이 바뀐다. 1시간 전체 평균은 100 km/h여도, 지금 이 순간의 속도는 120 km/h일 수 있다. 그 순간의 속도를 수학으로 정확히 계산하는 방법이 바로 미분이다.

앞선 글에 배운 극한 기호 lim을 기억하는가? 이 글에서는 그 lim을 사용해서, 곡선 위 한 점에서의 접선 기울기를 구하는 과정을 단계별로 따라가 볼 것이다.

평균 변화율 — 두 점 사이 기울기#

서울 요금소에서 대전 요금소까지 200 km를 1시간에 달렸다.

이 구간의 평균 속도는?

$$\text{평균 변화율} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{200}{1} = 200 \text{ km/h}$$

이 식은 변화량을 걸린 시간으로 나누어 구간 전체의 평균 속도를 구하는 계산이다.

그래프로 보면, 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 잇는 직선의 기울기이다. 이 직선을 할선(두 점을 이은 직선)이라고 한다.

Δ(델타)는 "변화량"을 뜻하는 기호이다. Δx = x가 얼마나 변했는지, Δy = y가 얼마나 변했는지를 나타낸다.

구간을 좁혀 순간을 향해#

그런데 평균으로는 충분하지 않다. 스피드건은 0.001초 만에 속도를 잡는다. 아주 짧은 구간을 쓸수록 "순간"에 가까워진다.

위치 함수 f(t) = t², a = 2에서 구간을 점점 좁혀 본다.

b가 2에 한없이 가까워질수록 평균 변화율은 4에 수렴한다.

이것을 극한 기호로 쓰면:

$$\lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 4$$

두 점 사이의 기울기를 한 점으로 밀어붙이면 그 순간의 기울기가 남는다.

이 극한값이 순간 변화율이다.

할선에서 접선으로#

이것을 그래프로 보면 더 선명하다.

곡선 위의 두 점 P, Q를 할선으로 잇는다. Q를 P 쪽으로 한없이 당기면 직선이 점점 변한다.

Q가 P에 완전히 붙으면 할선은 접선(곡선 위 한 점에서 곡선에 딱 맞닿는 직선)이 된다. 이 접선의 기울기가 바로 순간 변화율이다.

세 가지 표상을 나란히 보면:

미분계수 f'(x) — 정의식#

특정 점 x = a가 아니라 변수 x 어디서든 순간 변화율을 구하고 싶다.

b를 a + h로 바꿔 쓰면, b → a는 h → 0과 같다.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

도함수 정의식은 아주 짧은 구간의 평균 변화율을 한 점의 변화율로 바꾸는 장치다.

이것이 미분계수의 정의식이다. 기호 f'(x)는 "f 프라임 x"라고 읽는다.

f(x) = x²으로 확인한다.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

전개 후 h를 약분하고 0으로 보내면 x²의 순간 변화율이 위치 x에 따라 2x로 바뀜을 확인한다.

f(x) = x²을 미분하면 f'(x) = 2x이다.

x = 2에서 확인하면: f'(2) = 2 × 2 = 4 — 아까 수치 표의 극한값과 정확히 일치한다!

미분은 물리에서도 바로 쓰인다.

• 위치 함수 s(t)를 미분하면 → 속도 v(t) = s'(t)
• 속도 함수 v(t)를 미분하면 → 가속도 a(t) = v'(t)

속도계 바늘이 가리키는 값이 바로 위치 함수의 미분값, 즉 순간 속도이다.

자주 헷갈리는 점#

또 한 가지 주의해야 할 점:

• Δx와 h의 혼용: 공식에서 b = x + h로 치환한 이유를 꼭 짚어야 한다. 두 표현은 동일한 구간 폭을 다르게 부른 것이다.
• "접선은 한 점에서만 만난다"는 오해: 포물선과 접선이 다른 점에서 다시 만날 수 있다. "한 점에서 맞닿는다"는 뜻은 교차가 아니라 극한 수렴의 의미이다.

주요 개념#