log(M+N) ≠ log M + log N — 로그 법칙의 진짜 얼굴

인구가 두 배씩 늘어날 때 1024명이 되려면 몇 년이 걸리는가?

2ⁿ = 1024. "n은 얼마일까?" 이 질문 하나가 로그를 만들었다.

글에서 지수함수 y = aˣ를 배웠다. 이 글에서는 반대 방향으로 걸어간다. 결과를 알 때 지수를 거꾸로 구하는 도구, 로그이다.

로그는 지수를 거꾸로 읽기#

지수는 "밑을 몇 번 곱했을 때 얼마가 되는가"를 말한다.

로그는 "결과가 얼마일 때 지수가 몇이었는가"를 물다.

두 식은 완전히 같은 사실을 다른 방향으로 표현한 것이다.

이 변환이 자유로워야 로그를 쓸 수 있다. 지수에서 로그로, 로그에서 지수로 — 양방향 연습이 핵심이다.

조건 두 가지를 꼭 기억한다.

• 밑 조건: a > 0, a ≠ 1. 밑이 1이면 1^y는 항상 1이라 역함수 자체가 성립하지 않는다.
• 진수 조건: x > 0. y = aˣ의 치역이 항상 양수이므로, 그 역함수의 정의역도 반드시 양수이다.

y = x 대칭 — 역함수를 그래프로 보기#

글에서 역함수(앞선 글)는 x와 y를 서로 바꾼 함수이고, 그래프는 y = x 직선에 대해 대칭이라고 배웠다.

y = 2ˣ에서 x와 y를 바꾸면 x = 2^y, 즉 y = log₂(x)가 된다.

y = 2ˣ 위의 점 (3, 8)은 y = log₂(x) 위의 점 (8, 3)에 대응된다. x와 y의 자리가 정확히 바뀌었다.

y = log_a(x)의 그래프는 x = 0(y축)이 점근선이다. 그래프가 y축에 한없이 가까워지지만 닿지 않는다. 진수 조건 x > 0이 그래프에서 바로 보이는 것이다.

로그 법칙 — 지수 법칙의 다른 얼굴#

지수 법칙을 로그 언어로 번역하면 로그 법칙이 된다.

M = a^p, N = a^q 라 하면, log_a(M) = p, log_a(N) = q이다.

법칙 1 — 곱의 로그:

a^p · a^q = a^(p+q) 이므로,

"두 수의 곱의 로그 = 각각의 로그의 합"

법칙 2 — 몫의 로그:

a^p ÷ a^q = a^(p−q) 이므로,

법칙 3 — 거듭제곱의 로그:

(a^p)^n = a^(pn) 이므로,

세 법칙을 표로 확인한다.

자주 헷갈리는 점#

로그를 처음 배울 때 가장 많이 틀리는 오개념이 있다.

log(M + N) = log M + log N 이라고 잘못 생각하기.

이건 틀렸다. 로그 법칙은 곱에 적용된다. 합에는 로그 법칙이 없다.

왜 헷갈릴까? 분배법칙과 비슷하게 생겼기 때문이다. 하지만 로그는 함수이고, 함수는 분배법칙을 따르지 않는다.

반례 하나로 확인한다.

• log(10 + 90) = log(100) = 2
• log(10) + log(90) = 1 + log(90) ≈ 1 + 1.954 = 2.954

두 값은 다르다. 법칙이 성립하지 않는다는 게 바로 드러난다.

추가로 조심할 것들이다.

• [log(M)]ⁿ ≠ n·log(M). log(M) 전체를 n제곱한 것과 log(Mⁿ) = n·log(M)은 다르다. 거듭제곱 법칙은 진수 안의 지수를 내리는 것이다.
• log(−5)는 정의되지 않는다. 진수는 반드시 양수여야 한다.
• log₁(x)는 정의되지 않는다. 밑이 1이면 로그가 성립하지 않는다.

상용로그와 자연로그#

로그에서 특별히 자주 쓰는 두 가지 밑이 있다.

상용로그 (밑 10, 기호 log): 밑 10을 생략하고 그냥 log로 쓴다. 수의 자릿수 감각을 준다.

• log(1000) = log(10³) = 3
• log(0.01) = log(10⁻²) = −2

자연로그 (밑 e ≈ 2.718…, 기호 ln): 미적분에서 핵심 역할을 한다 (앞선 글에서 d/dx[ln x] = 1/x 로 재등장한다).

• ln(e) = 1
• ln(e²) = 2

두 로그는 밑 변환 공식으로 서로 변환할 수 있다.

계산기로 임의의 밑 로그를 구할 때 이 공식이 필수이다. 공식에서 구하려는 밑 a가 분모에 있다는 것에 주의한다. 분자·분모 순서를 바꾸는 실수가 흔하다.

실생활 속 로그 — 거대한 차이를 다루는 도구#

로그가 실생활에 쓰이는 이유는 "극단적으로 다른 크기를 다루기 좋기" 때문이다.

지진 규모 (리히터 스케일): M = log(I / I₀)

규모 6과 7의 차이는 숫자로 1이지만, 진폭은 10배 차이이다. 규모 2 차이면 10² = 100배이다.

pH (산·염기 세기): pH = −log[H⁺]

• 순수한 물: [H⁺] = 10⁻⁷ M → pH = 7
• 식초: [H⁺] = 10⁻³ M → pH = 3

pH 1 차이 = 수소 이온 농도 10배 차이이다. 화학에서 pH를 배울 때 이 로그 구조를 기억한다.

별의 등급 (포그슨 공식): Δm = 2.5·log(F₁/F₂)

5등급 차이가 정확히 100배 밝기 차이이다. 이것도 로그 스케일이다.

데시벨 (소리 크기): L = 10·log(I / I₀)

도서관(40 dB)과 콘서트장(110 dB)의 차이 70 dB은 10⁷ = 1000만 배 에너지 차이이다.

네 가지의 공통점은 하나이다. 현상의 실제 크기가 수십만 배 차이 나도, 로그 척도에서는 수십의 차이로 압축된다.

주요 개념#