1/n은 절대 0이 되지 않는다 — 그런데도 극한이 0인 이유

앞선 글에 우리는 수열을 배웠다. 규칙에 따라 나열된 수들의 목록이었죠.

그런데 수열이 끝없이 이어지면 어디로 향하는가? 아무리 나아가도 절대 도달하지 못하는 값이 있다면, 그것을 어떻게 불러야 하는가?

도달과 접근의 차이#

극한이란 도달이 아니라 접근이다. n이 아무리 커도 1/n은 0이 되지 않는다. 그런데도 극한값(수열이나 함수가 한없이 가까워지는 값)은 0이다.

이 한 문장만 오늘 가져가도 충분하다.

수치 표로 보는 수열 극한#

수열 aₙ = 1/n을 생각해 본다. n이 커질수록 어떻게 되는가?

n이 커질수록 aₙ이 0에 점점 가까워지고 있다. 절대 딱 0이 되지는 않는다. 하지만 원하는 만큼 0에 가까이 다가갈 수 있다. n을 충분히 크게 하면, 0.000001보다 작게도 만들 수 있다.

이 상황을 우리는 이렇게 쓴다.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

n이 커질수록 조각 하나의 크기가 0에 가까워진다는 사실을 극한 기호로 압축한 식이다.

읽는 법: "n이 무한대(∞, 끝없이 커져 가는 방향을 나타내는 기호, 수 자체가 아님)로 갈 때 1/n의 극한값은 0이다."

수치 표를 다시 손가락으로 짚어 내려가면서 0에 가까워지는 흐름을 느껴 본다.

그래프로 보는 함수 극한#

이번엔 함수의 극한(lim_{x→a} f(x) = L)이다.

함수 f(x) = (x² - 1)/(x - 1)을 생각해 본다. x = 1을 넣으면 분모가 0이 되어 계산이 안 된다. 그런데 x = 1의 근처에서 함수가 어떤 값에 다가가는지는 볼 수 있다.

왼쪽(0.999)에서도, 오른쪽(1.001)에서도 모두 2에 가까워지고 있다. 그래프로 보면 x = 1 자리에 빈 점(○)이 있지만, 양쪽 곡선은 모두 y = 2를 향해 다가온다.

이 상황을 이렇게 쓴다.

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

x=1에서 직접 대입할 수 없어도, 1에 가까운 값들이 향하는 높이를 읽으면 2가 된다.

사실 이 분수를 약분하면 f(x) = x + 1 (x ≠ 1)이다. 그래서 x = 1 근처에서 1 + 1 = 2로 향하는 게 자연스럽다.

극한이 존재하려면 왼쪽(좌극한, x가 a보다 작은 쪽에서 다가올 때의 극한값)과 오른쪽(우극한, x가 a보다 큰 쪽에서 다가올 때의 극한값)이 같아야 한다. 둘이 다른 값으로 향한다면, 극한은 존재하지 않는다.

자주 헷갈리는 점#

극한을 처음 배울 때 가장 많이 하는 실수를 정리한다.

"극한값 = 도달값"으로 잘못 알기. 가장 흔한 오개념이다. 극한은 방향과 접근에 관한 것이지 도달이 아니다. 1/n은 절대 0이 되지 않지만 극한값은 0이다.

"∞는 아주 큰 수"로 생각하기. ∞는 수가 아니라 방향이다. ∞ + 1이나 ∞ − ∞는 수학에서 의미가 없다 (극한의 문맥에서는 별도 규칙이 있지만, 단순히 "아주 큰 수"처럼 계산하면 안 된다).

"x = a에서 정의 안 되면 극한도 없다"고 착각하기. (x² − 1)/(x − 1) 사례처럼, x = a에서 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다. 극한은 x = a 근처에서의 행동에만 의존한다.

주요 개념#