수열 합과 일반항, 헷갈리면 안 된다 — 등차·등비 공식을 손으로 유도한다

수학을 공부하다 보면 규칙이 있는 수들의 나열을 자주 만난다.

1, 3, 5, 7, 9, … 처럼 2씩 늘거나, 2, 4, 8, 16, … 처럼 2배씩 커지는 수들이죠. 이런 수들의 나열을 수열이라고 한다.

수열은 단순한 나열이 아니다. 패턴을 수학의 언어로 정확하게 표현하는 방법이다. 이 글에서는 두 가지 대표 수열인 등차수열과 등비수열의 일반항과 합 공식을 손으로 유도해 보면서 그 논리를 느껴 본다.

패턴을 식으로 옮기기#

수열은 규칙이 있는 수들의 나열이고, 일반항 aₙ 이 n번째 수를, 합 Sₙ 이 처음부터 n번째까지의 합을 나타낸다.

등차수열은 일정하게 더하는 패턴(+d), 등비수열은 일정하게 곱하는 패턴(×r)이다. 두 공식 모두 "규칙을 수식으로 옮긴 것"이라는 공통 원리 위에 서 있다.

블록으로 패턴 보기#

블록을 꺼내서 쌓아 본다.

등차수열 (+2): 1개, 3개, 5개, 7개, 9개 — 매 항마다 2개씩 늘어난다. 블록을 계단처럼 쌓으면 왼쪽이 1칸, 그 옆이 3칸, 그 옆이 5칸이 된다.

등비수열 (×2): 1개, 2개, 4개, 8개 — 매 항마다 2배씩 늘어난다. 블록을 오른쪽으로 쌓으면 줄이 빠르게 길어지는 게 드러난다.

두 패턴을 나란히 보면 차이가 눈에 들어온다. 등차수열은 "일정하게 더하는" 패턴이고, 등비수열은 "일정하게 곱하는" 패턴이다.

이 두 패턴을 수식으로 정확하게 표현한 것이 일반항 공식이다.

일반항 공식 유도#

등차수열 일반항

첫째 항을 a₁, 공차를 d라고 한다. 공차는 이웃한 두 항의 차이이다.

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₁ + 2d
• a₄ = a₁ + 3d
• ⋮
• aₙ = a₁ + (n-1)d

n번째 항에 오려면 a₁에서 d를 (n-1)번 더하면 된다.

등비수열 일반항

첫째 항을 a₁, 공비를 r이라고 한다. 공비는 이웃한 두 항의 비율이다.

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ × r
• a₃ = a₁ × r²
• a₄ = a₁ × r³
• ⋮
• aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

n번째 항에 오려면 a₁에 r을 (n-1)번 곱하면 된다.

두 공식 모두 "시작 값에 (n-1)번의 조작을 가한 것"이라는 구조이다.

합 공식 유도#

등차수열 합 공식 — 가우스 방법

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ 이라고 쓰고, 같은 식을 뒤집어서 한 번 더 쓴다.

두 줄을 더하면 각 열마다 (a₁ + aₙ)이 나오고, 그런 열이 n개 있으니까:

2Sₙ = n(a₁ + aₙ)

양변을 2로 나누면: Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2

또는 aₙ = a₁ + (n-1)d를 대입하면: Sₙ = n{2a₁ + (n-1)d} / 2

등비수열 합 공식 — 양변 r 곱하기

Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ 이라고 쓰고, 양변에 r을 곱한다.

위 식에서 아래 식을 빼면 대부분 항이 상쇄된다:

Sₙ - r·Sₙ = a₁ - a₁rⁿ

Sₙ(1 - r) = a₁(1 - rⁿ)

r ≠ 1이면: Sₙ = a₁(rⁿ - 1) / (r - 1)

r = 1이면 모든 항이 a₁이므로: Sₙ = na₁

두 공식 모두 유도 과정에서 "항들이 서로 상쇄되는 구조"를 활용한다. 손으로 한 번 써 보면 구조가 훨씬 선명하게 보인다.

자주 헷갈리는 점#

수열 합과 일반항 혼동 — 고2 수열 단원에서 가장 자주 나오는 실수이다.

혼동 상황: Sₙ = n² + 2n 이 주어졌을 때, aₙ = Sₙ / n = n + 2로 계산하는 경우가 있다.

올바른 방법: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n ≥ 2)을 쓴다.

• aₙ = (n² + 2n) - ((n-1)² + 2(n-1))
• = (n² + 2n) - (n² - 2n + 1 + 2n - 2)
• = (n² + 2n) - (n² - 1)
• = 2n + 1

그리고 n = 1일 때 a₁ = S₁ = 1 + 2 = 3이 위 식에서 2(1) + 1 = 3으로 일치하면 문제없지만, 일치하지 않으면 a₁ = S₁을 별도로 처리해야 한다.

Sₙ ÷ n = aₙ이 되려면 Sₙ이 n에 대한 일차식이어야 하고, 상수항이 0이어야 한다. 그 경우가 아니면 절대 나누기로 일반항을 구하면 안 된다.

오늘의 핵심 공식#