주기 = b라고 외웠다면 틀렸다 — 삼각함수 그래프의 진짜 규칙

앞선 글에 호도법과 단위원 위의 점 P(cos θ, sin θ)를 배웠다.

이 글에서는 그 점 P가 원을 한 바퀴 돌면서 만들어 내는 y좌표의 변화를 오른쪽으로 펼쳐 본다. 그렇게 펼친 모양이 바로 사인 곡선이다. 소리·빛·진자·계절 기온까지, 반복되는 모든 현상을 수식 하나로 담는 방법을 익혀 본다.

단위원을 옆으로 펼치면#

단위원 위에서 점 P가 각도 θ만큼 회전할 때, P의 y좌표가 바로 sin θ이다.

θ를 0에서 2π까지 천천히 키우면서 y좌표 변화를 추적한다.

이 y좌표를 오른쪽으로 펼쳐 그리면 파도 모양의 곡선이 나타난다. 이것이 사인 곡선(sin θ의 값을 θ에 대해 그린 파동 모양의 그래프)이다.

곡선이 한 번 완전히 오르내리고 출발점으로 돌아오는 구간의 폭을 주기(그래프가 한 번 반복되는 데 필요한 θ의 변화량)라고 한다. y = sin x의 주기는 2π이다. 단위원 한 바퀴와 정확히 같다.

곡선이 중심선에서 최대로 벗어나는 거리를 진폭(그래프가 중심선에서 최대로 벗어나는 거리)이라고 한다. y = sin x의 진폭은 1이다. 단위원의 반지름이 1이기 때문이다.

코사인 곡선 y = cos x는 cos θ, 즉 P의 x좌표를 펼친 것이다. 사인 곡선을 π/2만큼 왼쪽으로 민 것과 같고, 주기·진폭은 각각 2π·1이다.

y = a sin(bx + c) + d — 네 가지 변환#

기본 사인 곡선에 수를 넣으면 곡선의 모양이 달라진다.

y = a sin(bx + c) + d

각 수가 하는 역할을 하나씩 살펴본다.

a — 진폭

a는 곡선이 중심선에서 얼마나 높이 올라가는지를 결정한다. a = 2이면 진폭 2, a = −2이면 위아래로 뒤집히지만 진폭은 |a| = 2이다.

b — 주기

b는 단위 구간 안에 곡선을 몇 번 반복시킬지 결정한다.

주기 = 2π / b (b > 0일 때)

b = 1이면 주기 2π, b = 2이면 주기 π, b = 1/2이면 주기 4π이다. b가 클수록 곡선이 더 빠르게 반복된다.

c — 위상

위상(같은 모양의 파형이 기준 위치에서 얼마나 수평으로 이동했는지 나타내는 양)은 곡선 전체를 왼쪽 또는 오른쪽으로 민다. y = sin(x + c)에서 c > 0이면 왼쪽으로, c < 0이면 오른쪽으로 이동한다. "+"인데 왼쪽으로 이동한다는 점이 자주 헷갈린다.

d — 수직 이동

수직 이동은 곡선 전체를 위아래로 이동시킨다. d > 0이면 위로, d < 0이면 아래로 내려간다. 최댓값 = a + d, 최솟값 = −a + d가 된다.

네 값 한 번에 읽기

y = 3 sin(2x − π/4) + 1 을 분석해 본다.

최댓값 = 1 + 3 = 4, 최솟값 = 1 − 3 = −2이다.

코사인과 탄젠트 곡선#

코사인 곡선 y = cos x도 사인과 같은 파동이다.

cos x = sin(x + π/2)이기 때문에, cos 곡선은 sin 곡선을 왼쪽으로 π/2만큼 민 것이다. 주기 2π, 진폭 1, y = a cos(bx + c) + d 형태에서도 네 변환이 같은 방식으로 적용된다.

탄젠트 곡선 y = tan x는 sin·cos와 다르다.

tan x = sin x / cos x이므로, cos x = 0이 되는 x = π/2, 3π/2, …에서 값이 정의되지 않는다. 그 위치에서 그래프는 수직으로 뻗어 끊긴다. 이 끊어지는 세로선을 점근선(그래프가 한없이 가까이 다가가지만 닿지 않는 직선)이라고 한다.

탄젠트의 주기는 π이다. sin·cos의 절반이다.

실생활에서 만나는 삼각함수 그래프#

삼각함수 그래프는 반복되는 현상 어디에나 있다.

음파: 스피커가 공기를 밀고 당기는 압력 변화가 사인 곡선으로 나타난다. b가 클수록(주기가 짧을수록) 높은 소리이다.

진자: 시계추가 좌우로 흔들리는 위치를 시간에 대해 그리면 코사인 곡선이다.

계절 기온: 서울 월평균 기온을 그리면 대략 아래 식이다.

이 식 하나가 서울 기온의 계절적 흐름을 담아낸다.

자주 헷갈리는 점#

위상 이동 방향 주의

y = sin(x + π/4)에서 "+"이지만 그래프는 왼쪽으로 π/4만큼 이동한다. y = sin((x + π/4)) = 0이 처음 되는 x = −π/4이기 때문이다. "c > 0이면 왼쪽"을 외우기보다, "sin(bx+c) = 0이 되는 x를 먼저 구하라"는 접근이 실수를 줄인다.

a < 0인 경우 진폭

진폭은 항상 |a|이다. a = −3이면 진폭은 3이고, 곡선은 위아래로 반전된다. 음수 자체가 진폭이 되는 것이 아니다.

주요 개념#