박테리아 한 마리가 하루 만에 천육백만 마리가 되는 이유

고1에서 함수의 정의와 유리함수, 무리함수를 배웠다. x가 분모에 들어가거나 루트 안에 들어가는 함수까지 탐구했다.

이 글에서는 완전히 다른 함수를 만난다. x가 지수 자리로 올라가면 어떻게 되는가?

2¹, 2², 2³, 2⁴ — x가 제곱 위치에 있는 이 함수가 얼마나 폭발적으로 커지는지, 오늘 확인하게 될 것이다.

오늘의 핵심#

지수함수 y = aˣ에서 밑 a가 1보다 크면 오른쪽으로 갈수록 폭발적으로 증가하고, 0과 1 사이이면 오른쪽으로 갈수록 감소한다. 어떤 경우에도 점 (0, 1)을 지나고, x축(y = 0)을 수평 점근선으로 가지며, 치역은 항상 y > 0이다.

지수함수가 다른 함수와 근본적으로 다른 이유는 변화율에 있다. 선형함수(y = 2x)는 x가 1 늘어날 때 y가 2씩 더해지지만, 지수함수(y = 2ˣ)는 x가 1 늘어날 때 y가 2배씩 곱해진다. 이 차이가 시간이 지날수록 압도적인 격차를 만든다.

격자 성장 모델 — 박테리아 분열을 따라가 본다#

어느 실험실에 박테리아 한 마리가 있다. 이 박테리아는 1시간마다 두 배로 늘어난다.

6시간이면 64마리이다. 10시간이면 2¹⁰ = 1,024마리이다. 24시간이 지나면 2²⁴ = 16,777,216마리가 된다. 불과 하루 만에 천육백만 마리를 훌쩍 넘다.

이 관계를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$y = 2^x$$

여기서 x는 반복 횟수이고, 2가 몇 번 곱해지는지가 y의 크기를 결정한다.

x가 시간이고, y가 박테리아 수이다. x가 분모도 아니고 루트 안도 아니라, 지수 자리(위 칸)에 올라간 것이다.

이런 형태의 함수를 지수함수(밑 a(a > 0, a ≠ 1)의 x제곱으로 이루어진 함수, y = aˣ)라고 한다. aˣ에서 거듭제곱되는 고정된 수 a를 밑이라고 하고, 박테리아 예에서 밑은 2이다.

지수 법칙 — 지수끼리 계산하는 네 가지 규칙#

지수함수를 다루기 전에 지수끼리 계산하는 규칙을 확인한다. 이 네 가지 규칙이 지수 법칙이다.

규칙 1. 곱하면 지수를 더한다

2³ × 2⁴를 풀어 쓴다. 2³ = 2 × 2 × 2, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2이므로 곱하면 2를 총 7번 곱한 것과 같다.

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

밑이 같을 때 지수를 더하는 이유는 같은 수를 곱한 횟수를 합치는 계산이기 때문이다.

규칙 2. 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱한다

(2³)² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2⁶이다.

$$(a^m)^n = a^{mn}$$

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 같은 묶음이 n번 반복되므로 지수는 곱으로 합쳐진다.

규칙 3. 음수 지수는 역수

2⁰ = 1로부터 시작한다. 규칙 1을 거꾸로 적용하면 2³ × 2⁻³ = 2⁰ = 1이어야 한다. 따라서 2⁻³ = 1/2³ = 1/8이다.

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

음수 지수는 새로운 연산이 아니라 곱셈 방향을 거꾸로 읽어 역수를 만든 표현이다.

이 규칙 덕분에 지수가 음수일 때도 의미가 생긴다. x = -2이면 y = 2⁻² = 1/4이다.

규칙 4. 분수 지수는 거듭제곱근

4^(1/2)를 두 번 곱하면 4^(1/2) × 4^(1/2) = 4^1 = 4가 돼야 한다. 그런데 √4 × √4 = 4이기도 한다. 따라서 4^(1/2) = √4 = 2이다.

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad (a\text{의 }n\text{제곱근})$$

분수 지수는 제곱근·세제곱근 같은 근호 표현을 지수 법칙 안으로 가져오는 약속이다.

8^(1/3) = ³√8 = 2이다. 2 × 2 × 2 = 8이기 때문이다.

이 네 가지 규칙을 조합하면 지수 자리에 어떤 유리수가 오더라도 계산할 수 있다.

x = 0일 때 2⁰ = 1이다. x가 오른쪽으로 갈수록 빠르게 커지고, 왼쪽으로 갈수록 0에 가까워진다.

지수함수 그래프 — 두 가지 모양#

y = 2ˣ처럼 밑이 1보다 큰 경우와, y = (1/2)ˣ처럼 밑이 0과 1 사이인 경우를 비교해 본다.

밑 a > 1: 오른쪽으로 갈수록 폭발적으로 증가

x가 커질수록 y는 매우 빠르게 커진다. x = 10이면 y = 2¹⁰ = 1,024이다. x가 1 늘어날 때마다 y는 두 배가 되기 때문이다.

반면 x가 아무리 작아도 y는 절대 0이 되지 않는다. 수평 점근선이 y = 0(x축)이다.

밑 0 < a < 1: 오른쪽으로 갈수록 감소

x가 오른쪽으로 갈수록 y가 작아진다. 방향이 뒤집혔다.

왜 그럴까? (1/2)ˣ = 1/2ˣ = 2⁻ˣ이니까, y = 2ˣ를 y축에 대해 대칭으로 뒤집은 그래프이다. 이 경우에도 수평 점근선은 y = 0이다. 아무리 오른쪽으로 가도 y는 0에 닿지 않는다.

두 그래프의 공통점과 차이점:

모든 지수함수는 점 (0, 1)을 지난다. a⁰ = 1이기 때문이다.

지수 성장의 실제 응용 — 세 가지 장면#

지수함수는 수학 교과서 안에만 있지 않다. 아래 세 장면에서 y = aˣ꼴이 나타난다.

장면 1. 박테리아 분열 (생물 연결)

앞에서 본 것처럼 한 마리가 2마리로, 2마리가 4마리로 분열하는 과정은 y = 2ˣ이다. 생물의 개체군 성장 모델에서 지수함수가 핵심이다.

장면 2. 복리 이자

은행에 100만 원을 맡기고 이자율이 연 10%라면, 매년 원금이 1.1배씩 된다.

• 1년 후: 100 × 1.1¹ = 110만 원
• 2년 후: 100 × 1.1² = 121만 원
• x년 후: 100 × 1.1ˣ만 원

30년이 지나면 100 × 1.1³⁰ ≈ 1,745만 원이 된다. 단순 이자(매년 10만 원씩)라면 30년 뒤에 400만 원이겠지만, 복리는 1,745만 원으로 4배 이상 차이가 난다.

장면 3. 방사성 붕괴 (화학·물리 연결)

방사성 물질은 일정 시간마다 절반씩 줄어들다. 이것을 반감기(방사성 물질의 양이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간)라고 한다.

반감기가 T인 물질이 처음 m₀g 있다면, t 시간이 지난 뒤 남은 양은 다음과 같다.

$$m = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

t/T는 반감기가 몇 번 지났는지를 나타내며, 그 횟수만큼 처음 양에 1/2을 반복해서 곱한다.

밑이 1/2이고 t/T가 지수이다. 0 < 1/2 < 1이니까 시간이 지날수록 감소하는 지수함수이다. 화학 시간에 pH와 농도를 다룰 때 이 지수 관계가 다시 나올 것이다.

자주 혼동하는 점#

지수 법칙을 처음 배울 때 가장 많이 나타나는 혼동이다.

지수 법칙 (a^m)^n 와 a^(m+n) 혼동

규칙 2에서 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ(지수를 곱한다)이고, 규칙 1에서 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ(지수를 더한다)이다. 이 두 규칙의 적용 상황이 다름에 주의해야 한다.

혼동이 생기면 (2³)²를 풀어서 확인한다. (2 × 2 × 2)² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2⁶이다.

주요 개념#