(fg)' = f'g' 라고 외웠다면 — 곱의 미분 바로잡기

앞선 글에 우리는 미분계수가 무엇인지 배웠다. 평균 변화율을 극한으로 보내면 그 점에서의 순간 변화율, 즉 접선의 기울기가 된다는 것이었다.

그런데 정의를 매번 계산하는 건 번거롭다. x⁴를 미분하려면 (x+h)⁴를 전개하고 h→0을 취해야 하기 때문이다. 이 글에서는 그 반복 작업을 단번에 처리하는 미분 법칙을 배운다.

공식이 필요한 이유#

다항함수를 미분할 때는 다섯 가지 법칙을 조합하면 된다. 극한을 매번 전개하지 않아도 같은 결과를 얻을 수 있다.

공식은 외우는 것이 아니라 왜 성립하는지 한 번 확인한 다음 쓰는 도구이다. 오늘 그 확인을 한다.

상수·거듭제곱 법칙 — 공식의 뿌리#

가장 단순한 경우부터 시작한다.

상수 법칙: 상수 함수 f(x) = c를 미분하면 변화가 없으니 변화율도 0이다.

거듭제곱 법칙: f(x) = x²를 정의로 계산한다.

패턴이 보이는가? x³ → 3x², x⁴ → 4x³. 지수가 계수로 내려오고, 지수는 1 줄다.

합·차·상수배 법칙 — 공식 조합하기#

다항함수는 여러 항의 합이다. 항마다 따로 미분하면 된다.

두 법칙을 합치면 임의의 다항함수를 빠르게 미분할 수 있다.

예시: h(x) = 2x⁴ − 3x² + 7x − 1을 미분한다.

절차는 단순하다.

1. 각 항의 지수를 계수로 내린다.
2. 지수를 1 줄인다.
3. 상수항은 사라진다.

곱 법칙 — 주의가 필요한 공식#

f(x) = x²를 x · x로 보면 각각 미분해서 1 · 1 = 1이라고 생각하기 쉽다. 그런데 실제 미분은 2x이다. 각각 미분해서 곱하면 안 된다.

한쪽을 미분하고 다른 쪽은 그대로 유지한 두 항의 합이다.

예시: p(x) = (x² + 1)(x³ − 2)를 미분한다.

전개 후 미분해도 5x⁴ + 3x² − 4x로 일치한다. 곱 법칙이 맞다.

자주 헷갈리는 점#

상수항 미분도 자주 틀리다. f(x) = x² + 5에서 (5)' = 5로 두는 경우가 있다. 상수 법칙 적용 → (5)' = 0이다.

지수 감소 오류도 주의한다. (x³)' = 3x³처럼 지수를 줄이지 않는 경우가 있다. 올바른 결과는 3x²이다.

세 표상으로 확인#

미분 법칙은 계산 연습으로만 끝나면 안 된다. f(x) = x³ − 3x로 세 표상을 연결한다.

계산: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)

부호표:

응용: 위치 s(t) = t³ − 3t에서 t = 2초의 속도는?

미분 공식 하나가 물리 문제를 단숨에 해결한다.

주요 개념#