사각형의 포함 관계 — 정사각형과 직사각형

직사각형, 정사각형, 평행사변형, 마름모는 모두 사각형이다. 중등 수학에서는 이 도형들을 이름으로만 구분하지 않고, 어떤 조건을 만족하는지로 분류한다.

핵심은 포함 관계다. 정사각형은 직사각형의 조건과 마름모의 조건을 모두 만족하므로 직사각형이면서 동시에 마름모다.

평행사변형에서 출발하기#

사각형 분류의 출발점은 평행사변형이다.

직사각형을 비스듬히 기울이면 네 각은 직각이 아니게 되지만, 마주 보는 두 쌍의 변은 여전히 나란하다. 이것이 평행사변형이다.

평행사변형의 핵심 성질은 다음과 같다.

조건을 추가하면 새 도형이 된다#

평행사변형에 조건을 하나 더 추가하면 더 특별한 사각형이 된다.

방향 1 — 네 각을 모두 90°로 → 직사각형

직사각형은 평행사변형에 "네 각 모두 90°" 조건을 더한 도형이다. 이 조건이 붙으면 두 대각선의 길이가 같아진다.

방향 2 — 네 변의 길이를 모두 같게 → 마름모

마름모는 평행사변형에 "네 변 모두 같음" 조건을 더한 도형이다. 마름모에서는 두 대각선이 서로 수직으로 교차한다.

정사각형은 두 집합의 교집합#

두 방향의 조건을 동시에 추가하면 정사각형이 된다.

• 네 각이 모두 90° (직사각형 조건)
• 네 변의 길이가 모두 같음 (마름모 조건)

이 두 조건을 만족하는 도형이 정사각형이다.

정사각형은 직사각형의 조건을 모두 갖고 있다. 동시에 마름모의 조건도 모두 갖고 있다. 즉, 정사각형은 직사각형이기도 하고 마름모이기도 하다.

대각선 성질도 둘 다 물려받는다.

• 직사각형에서 물려받음: 두 대각선의 길이가 같다.
• 마름모에서 물려받음: 두 대각선이 서로 수직으로 교차한다.
• 정사각형: 두 대각선의 길이가 같고, 수직으로 이등분한다.

벤 다이어그램으로 보는 포함 관계#

사각형들은 조건이 많을수록 더 특별한 이름을 가진다. 이 관계는 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

그림을 읽는 방식은 다음과 같다.

• 정사각형은 직사각형 안에 있다. → 정사각형은 직사각형이다.
• 정사각형은 마름모 안에도 있다. → 정사각형은 마름모다.
• 직사각형이지만 정사각형이 아닌 것도 있다. → 직사각형이 더 넓은 집합이다.

집합 기호로도 같은 관계를 쓸 수 있다.

⊂는 "~에 속한다"는 뜻이다.

성질 비교표#

네 사각형의 성질을 한 표에 모으면 포함 관계가 더 분명해진다.

표에서 확인할 점은 다음과 같다.

• 오른쪽으로 갈수록 ⭕가 늘어난다. 정사각형이 가장 조건이 많다.
• 직사각형과 마름모는 서로 다른 성질이 추가된다.
• 정사각형은 두 방향의 성질을 모두 가진다.

대각선 성질만으로도 사각형을 어느 정도 판별할 수 있다. "두 대각선의 길이가 같고 수직이다"는 정사각형의 강한 단서이고, "길이 같음"은 직사각형, "수직"은 마름모와 연결된다.

흔한 오개념 직격#

정사각형은 직사각형이 아니라는 생각은 "이름이 다르면 서로 다른 집합"이라고 보기 때문에 생긴다. 그러나 도형 분류에서는 이름보다 조건이 우선이다. 정사각형은 네 각이 모두 90°라는 직사각형의 조건을 만족하므로 직사각형이다.

주요 개념#