삼각형의 내각과 합동 — 종이 자르기로 180°를 확인하고 SSS·SAS·ASA로 도형을 맞추다

삼각형에서 확인할 두 가지 성질#

도형에서는 길이와 각의 관계가 핵심이다. 삼각형은 가장 단순한 다각형이지만, 내각의 합과 합동 조건처럼 이후 기하의 바탕이 되는 성질을 담고 있다.

이 글에서는 삼각형의 세 내각의 합이 왜 180°인지, 그리고 어떤 조건이 주어지면 두 삼각형이 반드시 합동인지 정리한다.

종이 자르기로 보는 180°#

삼각형의 세 각을 한 점에 모으면 일직선이 된다. 일직선의 각도는 180°이므로 삼각형의 세 내각의 합은 180°다.

준비물: 종이 한 장, 가위

방법:

1. 종이에 삼각형 하나를 그린다. 어떤 삼각형이어도 된다.
2. 가위로 삼각형을 자른다.
3. 세 꼭짓점 부분을 잘라 세 조각의 뾰족한 부분을 만든다.
4. 세 뾰족한 부분을 한 점에 모아 나란히 붙인다.

세 각을 모으면 일직선이 된다. 일직선은 180°이므로 삼각형의 세 내각의 합은 180°다.

이 성질은 삼각형의 크기나 모양과 관계없이 항상 성립한다. 이렇게 참 또는 거짓을 판단할 수 있는 문장을 명제라고 한다.

내각의 합으로 각도 구하기#

세 내각의 합이 180°라는 사실은 미지의 각을 구하는 데 쓰인다.

예시 1: 한 삼각형에서 두 각이 50°와 70°라고 하자.

예시 2: 정삼각형에서는 세 각이 모두 같다.

정삼각형의 각 하나는 180° ÷ 3 = 60°다.

이미 알고 있는 사실에서 새로운 사실을 이끌어 내는 과정을 증명이라고 한다.

합동의 의미#

이번에는 두 삼각형이 "똑같다"는 것이 무슨 뜻인지 정의한다.

삼각형 A를 잘라서 삼각형 B 위에 올려놓았을 때 완전히 겹치면 두 삼각형은 합동(모양과 크기가 완전히 같아 포개지는 것)이다. 기호로는 ≡를 쓴다.

합동인 두 도형에서 포개지는 꼭짓점·변·각을 대응이라고 한다.

• 꼭짓점: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F
• 변: AB ↔ DE, BC ↔ EF, CA ↔ FD
• 각: ∠A ↔ ∠D, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠F

합동이면 대응하는 변의 길이는 모두 같고, 대응하는 각의 크기도 모두 같다.

합동 조건 세 가지#

삼각형을 매번 잘라 확인할 수는 없다. 세 변과 세 각 중에서 어느 정보만 같아도 합동이 보장되는지 정리한 것이 합동 조건이다.

삼각형의 합동 조건은 세 가지다.

SSS — 세 변이 모두 같은 경우#

두 삼각형에서 세 변의 길이가 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다.

작도 관점에서 보면 선분 BC를 정한 뒤, B에서 AB 길이만큼 호를 그리고 C에서 CA 길이만큼 호를 그리면 두 호의 교점이 A가 된다. 세 변의 길이가 정해지면 꼭짓점 A의 위치가 결정된다.

SAS — 두 변과 끼인각이 같은 경우#

두 변의 길이와 그 사이에 끼인각(두 변이 만나는 꼭짓점의 각)의 크기가 같으면 두 삼각형은 합동이다.

선분 BC를 정하고 B에서 ∠B를 정한 뒤, 컴퍼스로 AB 길이를 잡으면 꼭짓점 A가 하나로 정해진다.

ASA — 두 각과 끼인변이 같은 경우#

두 각의 크기와 그 사이에 끼인변(두 각의 꼭짓점이 양 끝인 변)의 길이가 같으면 두 삼각형은 합동이다.

선분 BC를 정하고 B에서 ∠B만큼, C에서 ∠C만큼 각도를 그리면 두 반직선의 교점이 A가 된다. 두 각과 끼인변이 정해지면 삼각형이 결정된다.

세 조건 한눈에#

흔한 실수 — 합동과 닮음 구분#

닮음과 합동을 혼동하기 쉽다. 합동(≡)은 모양뿐 아니라 크기까지 같아야 한다.

SSS 조건의 작도 확인#

준비물: 자, 컴퍼스, 작도 용지 또는 공책

1. 선분 BC = 5 cm를 그린다.
2. B에서 컴퍼스로 3 cm 호를, C에서 4 cm 호를 그린다.
3. 두 호의 교점을 A로 잡고 삼각형 ABC를 완성한다.
4. 같은 방법으로 삼각형 DEF를 그린다. (DE = 3 cm, EF = 5 cm, FD = 4 cm)
5. 두 삼각형은 세 변의 길이가 같으므로 SSS 합동이다.

변의 길이만 주어져도 삼각형이 결정되는 이유는 두 호의 교점이 꼭짓점의 위치를 제한하기 때문이다.

주요 개념#