함수는 입력-출력 기계 — 자판기로 배우는 f(x)

입력과 출력의 규칙#

부등식은 x가 가질 수 있는 값의 범위를 나타낸다. 함수는 한 걸음 더 나아가, x에 특정 값을 넣었을 때 y가 어떻게 정해지는지를 다룬다.

함수는 입력 값 하나에 출력 값이 정확히 하나 대응되는 규칙이다.

자판기 비유를 쓰면, 버튼 하나가 입력이고 나오는 음료 하나가 출력이다. 하나의 입력에서 출력이 여러 개로 갈라지면 함수라고 부르기 어렵다.

자판기 모델로 보는 함수#

버튼 하나를 누르면 음료가 하나 나온다. 콜라 버튼을 눌렀는데 주스가 나오거나, 같은 버튼에서 매번 다른 음료가 나오면 규칙이 안정적이지 않다. 수학의 함수도 입력과 출력의 대응이 분명해야 한다.

• 입력: x에 수를 하나 넣는다.
• 규칙: 정해진 계산을 한다.
• 출력: y 값이 하나 나온다.

입력 x에 출력이 두 개 이상 나오거나 아예 정해지지 않으면 함수가 아니다.

f(x) 표기 읽기#

함수를 쓸 때는 f(x)(함수 f에 x를 입력했을 때의 출력 값)라는 기호를 쓴다.

예를 들어 "x를 넣으면 3x + 1이 나오는 함수"는 f(x) = 3x + 1처럼 쓴다.

f(2)는 "x 자리에 2를 넣어라"는 뜻이다.

f(−1)은 x 자리에 −1을 넣은 값이다.

f는 function의 첫 글자에서 온 표기이며, 함수 이름으로 g, h도 사용할 수 있다.

일차함수 y = ax + b#

일차함수(x의 최고 차수가 1인 함수, y = ax + b 꼴)는 중2에서 가장 먼저 다루는 함수다. a와 b는 정해진 수다.

y = 2x + 1을 예로 든다.

표에서 x가 1 늘어날 때마다 y가 2씩 늘어난다.

이 (x, y) 쌍을 좌표평면에 점으로 찍으면 함수의 그래프가 된다.

일차함수의 그래프는 항상 직선이다.

표·식·그래프는 같은 함수의 세 표현#

함수는 한 가지 방식으로만 표현되지 않는다.

식 y = 2x + 1이 곧 그래프라고 생각하면 표현의 차이를 놓치기 쉽다.

하나의 함수를 식, 표, 그래프로 다르게 표현할 수 있다.

식을 보면 규칙이 명확하고, 표를 보면 특정 값을 바로 읽을 수 있으며, 그래프를 보면 전체 변화 모양이 보인다.

아래 표에서는 x가 1씩 늘 때 y가 2씩 줄어든다. 따라서 그래프는 오른쪽으로 갈수록 내려간다.

주요 개념#

• 함수란 입력 하나에 출력이 정확히 하나 대응되는 규칙이다.
• f(x)는 "함수 f에 x를 넣었을 때 나오는 값"이다. f 곱하기 x가 아니다.
• 일차함수 y = ax + b의 그래프는 항상 직선이다.
• 식·표·그래프는 모두 같은 함수의 서로 다른 표상이다.