순환소수는 유리수 — 0.333…이 분수가 되는 원리

유리수와 소수 표현#

유리수는 두 정수 p, q로 p/q 형태를 만들 수 있는 수다.

1/2, -3/4, 5/1 같은 수는 모두 유리수다.

분수를 나눗셈으로 계산하면 소수로도 표현할 수 있다. 1/2는 0.5에서 끝나지만, 1/3은 0.333…처럼 끝없이 이어진다. 끝나지 않는 소수라도 일정한 패턴이 반복되면 유리수로 다룰 수 있다.

소수의 두 종류#

분수를 나눗셈으로 계산하면 소수가 된다. 다만 소수의 형태는 항상 같지 않다.

1/4를 계산한다.

0.25에서 끝난다. 이처럼 소수점 아래 자리 수가 끝나는 소수를 유한소수라고 한다.

이번에는 1/3을 계산한다.

3이 끝없이 반복된다. 이처럼 소수점 아래 자리 수가 끝없이 이어지는 소수를 무한소수라고 한다.

수직선 위에서는 유한소수와 무한소수 모두 하나의 정확한 점에 대응한다.

즉 0.25도, 0.333…도 0과 1 사이의 수다.

무한소수 안의 반복 규칙#

무한소수라고 해서 모두 같은 종류는 아니다. 다음 두 예시는 끝없이 이어지지만 반복 규칙을 가진다.

첫 번째: 1/3

3이 계속 반복된다.

두 번째: 1/7

142857이 계속 반복된다. 여섯 자리 묶음이 되풀이된다.

이처럼 소수점 아래에서 일정한 숫자 묶음이 끝없이 반복되는 무한소수를 순환소수라고 한다. 반복되는 부분은 순환마디라고 부른다.

• 0.333…의 순환마디는 3이다.
• 0.142857142857…의 순환마디는 142857이다.

순환소수는 점 표기로 짧게 쓸 수 있다. 순환마디의 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 찍는 방식이다.

순환소수를 분수로 바꾸는 이유#

순환소수가 유리수라면 분수 p/q로 나타낼 수 있어야 한다. 이를 확인하려면 반복되는 부분을 없애는 계산이 필요하다.

방법: 순환소수에 10, 100, 1000처럼 10의 거듭제곱을 곱해 순환마디의 위치를 맞춘 뒤 서로 뺀다.

예시 1 — 0.333…을 분수로 바꾸기

x = 0.333…으로 놓고 양쪽을 10배 한다.

위 식에서 아래 식을 빼면 반복 부분이 사라진다.

0.333… = 1/3이 확인된다.

예시 2 — 0.181818…을 분수로 바꾸기

순환마디가 18, 두 자리이므로 100배를 해야 순환마디의 위치가 맞춰진다.

x = 0.181818…으로 놓는다.

위 식에서 아래 식을 뺀다.

0.181818… = 2/11이다.

유리수 = 유한소수 또는 순환소수#

유리수 p/q를 나눗셈으로 소수로 바꾸면 항상 두 가지 중 하나다.

• 유한소수: 나머지가 0이 되는 경우 → 소수가 끝난다. (예: 1/4 = 0.25)
• 순환소수: 나머지가 0이 되지 않고 계속 남는 경우 → 나머지가 반드시 되풀이된다. (예: 1/3 = 0.333…)

나머지가 반드시 되풀이되는 이유는 가능한 나머지의 개수가 유한하기 때문이다. 나누는 수가 q라면 나머지로 나올 수 있는 수는 0, 1, 2, …, q-1뿐이다. 계속 나누다 보면 같은 나머지가 다시 나오고, 그 순간부터 같은 소수 패턴이 반복된다.

반대로 순환소수는 x 치환 방법으로 항상 p/q 형태의 분수를 얻을 수 있다.

무한소수이지만 순환하지 않는 수는 유리수가 아니다. 예를 들어 √2 = 1.41421356…이나 π = 3.14159265…는 분수로 정확히 나타낼 수 없다.