다항식 정리 — 동류항·분배법칙·단항식 나눗셈

단항식과 다항식 — 항의 개수로 구분한다#

식을 계산하려면 먼저 항을 구분해야 한다.

단항식은 항이 하나뿐인 식이다.

더하기나 빼기 부호로 나뉜 덩어리가 하나라는 뜻이다.

다항식은 항이 둘 이상인 식이다.

더하기·빼기 부호로 나뉜 항이 여러 개 들어 있다.

각 항을 분해한다. 2x² + 5x − 3을 예로 들면:

여기서 차수가 등장한다. x²은 x가 두 번 곱해졌으므로 차수가 2이고, 5x는 x가 한 번 곱해졌으므로 차수가 1이다.

다항식 전체의 차수는 항 중에서 가장 높은 차수를 따른다. 2x² + 5x − 3의 가장 높은 항이 2차이므로 이차다항식이다.

동류항 정리#

식이 복잡해 보여도 같은 종류의 항끼리 모으면 구조가 단순해진다.

동류항은 문자와 차수가 모두 같은 항이다. 동류항끼리는 계수만 더하거나 뺄 수 있다.

다음 식을 정리한다.

먼저 동류항끼리 짝을 짓는다.

• x² 항: 3x²과 −x² → 동류항
• x 항: 2x와 4x → 동류항
• 상수항: −5 혼자

계수 표로 한눈에 봅니다.

결과: 2x² + 6x − 5

정리 순서는 다음과 같다.

1. 같은 차수의 항끼리 모은다
2. 계수끼리만 더하거나 뺀다
3. 차수가 높은 항부터 순서대로 쓴다

예를 들어 4a² − 3a + a² + 7a − 2는 a²항, a항, 상수항을 따로 모아 정리한다.

넓이 모델로 보는 분배법칙#

다항식의 곱셈은 직사각형 넓이로 해석할 수 있다. 이 모델은 분배법칙이 왜 필요한지 보여 준다.

(2x + 3)(x + 1)을 계산한다.

가로를 (x + 1), 세로를 (2x + 3)으로 나누어 직사각형을 그리면 네 조각이 나온다.

전부 더하면: 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3

이것이 분배법칙이다. 괄호 밖의 식을 괄호 안의 각 항에 하나씩 곱하는 규칙이며, 넓이 조각을 모두 더하는 과정과 같다.

단항식과 다항식의 곱도 같은 원리로 계산한다. 2a(a + 4)는 2a×a와 2a×4를 각각 계산한 뒤 더한다.

단항식으로 나누기#

나눗셈은 곱셈의 반대다. 다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 하나씩 나눈다.

(6x² + 9x) ÷ 3x를 계산한다.

계수끼리 나누고, 문자끼리 나눈다.

• 6 ÷ 3 = 2, x² ÷ x = x → 2x
• 9 ÷ 3 = 3, x ÷ x = 1 → 3

역방향으로 확인하면 3x × (2x + 3) = 6x² + 9x가 되어 원래 식으로 돌아간다.

계산 구조를 표로 정리하면 다음과 같다.

예를 들어 (8x² − 12x) ÷ 4x는 각 항을 4x로 나누어 2x − 3이 된다.

주요 개념#

• 단항식 : 항이 하나뿐인 식 (3x, −5y², 7 등)
• 다항식 : 항이 둘 이상인 식 (2x + 3, x² + 5x − 6 등)
• 차수 : 한 항에서 문자가 곱해진 횟수 (x²의 차수는 2)
• 동류항 정리 : 문자와 차수가 같은 항끼리만 계수를 더하거나 뺀다
• 분배법칙 : 넓이 모델의 각 조각을 모두 더하는 계산이다. (2x + 3)(x + 1) = 2x² + 5x + 3
• 다항식 ÷ 단항식 : 각 항을 하나씩 나누고 역방향으로 검증한다