부등식으로 범위 나타내기

다항식을 계산할 수 있으면 식의 값을 비교하는 문제로 확장할 수 있다.

부등식은 두 수나 식의 크기를 비교하는 수학 문장이다. 방정식과 비슷하게 변형할 수 있지만, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 뒤집힌다는 점이 결정적으로 다르다.

부등식의 의미#

기온이 20도보다 낮다는 조건은 x < 20처럼 쓸 수 있다.

이처럼 두 값이 같지 않고 어느 쪽이 크거나 작은지를 나타낼 때 부등식을 쓴다.

부등식에서 쓰는 기호는 네 가지다.

방정식에서는 x = 4처럼 하나의 값이 답이 되는 경우가 많다. 반면 부등식에서는 답이 하나가 아니다. x > 3이면 x는 3.1도 되고, 4도 되고, 100도 될 수 있다. 답이 범위로 나온다.

이 부등식을 만족하는 x 전체를 해(부등식을 참으로 만드는 수의 범위)라고 합니다.

수직선으로 범위 나타내기#

부등식의 해는 수직선 위에 나타낼 수 있다. 수직선은 경계값과 포함 여부를 동시에 보여 준다.

수직선에 점을 찍을 때는 두 가지 표시를 쓴다.

• 빈 동그라미 ○: 그 수는 포함하지 않는다 (< 또는 >)
• 꽉 찬 동그라미 ●: 그 수도 포함한다 (≤ 또는 ≥)

핵심 판별: 부등호에 등호(=)가 있으면 ●, 없으면 ○

예를 들어 x > 3의 해는 3을 포함하지 않고 오른쪽 방향으로 표시한다.

3은 포함하지 않으므로 빈 동그라미 ○를 사용한다.

x ≥ 3의 해는 3을 포함하므로 꽉 찬 동그라미 ●를 사용한다.

온도계 모델: 냉장고 온도가 -5도보다 낮아야 한다면, 온도 x는 x < -5다. 온도계에서 -5 아래 부분이 해당 범위이며, 수직선의 화살표 방향도 왼쪽을 향한다.

일차부등식 풀기 — 방정식과 같은 점#

부등식도 방정식처럼 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눌 수 있다. 단, 양수로 조작할 때는 부등호 방향이 유지된다.

예시 1 — 양수를 더하거나 빼는 경우

x + 3 > 7을 푼다.

수직선:

예시 2 — 양수로 나누는 경우

2x ≤ 10을 푼다.

수직선:

방정식에서와 마찬가지로 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나, 양수로 곱하거나 나누면 부등호 방향은 그대로다.

음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다#

음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 바뀐다.

이유는 수직선의 방향이 반대로 바뀌기 때문이다.

3 > 1의 양변에 -1을 곱해 본다.

수직선에서 -3과 -1의 위치를 비교한다.

-3은 -1보다 왼쪽에 있으므로 -3 < -1이다. 곱하기 전에는 3 > 1이었지만, 양변에 -1을 곱하면 -3 < -1이 된다. 부등호 방향이 >에서 <로 바뀐다.

이것이 핵심 규칙이다.

예시 — 음수로 나누는 경우

-3x < 9를 푼다.

수직선:

두 단계로 푸는 일차부등식#

방정식처럼 두 단계가 필요한 부등식도 같은 원리로 푼다.

예시 1 — 3x - 4 > 5

수직선:

예시 2 — -2x + 1 ≥ 7

수직선:

풀이 뒤에는 해 범위 안의 값을 원래 부등식에 넣어 참인지 확인한다. 예를 들어 x = -4가 해 범위에 들어간다면 원래 부등식에 대입해 검산한다.

해 범위 안의 값을 넣으면 부등식이 참이 된다.