확률의 덧셈과 곱셈 — 더하고 곱하는 확률의 법칙

앞선 글에 우리는 순열과 조합을 배웠다. 나무 그림으로 경우의 수를 체계적으로 세고, 공식으로 빠르게 구하는 방법을 익혔다.

이 글에서는 그 경우의 수 위에 확률의 새로운 연산 법칙을 얹는다. 확률끼리 더하거나 곱할 수 있다는 것, 어떤 상황에서 어떤 법칙을 써야 하는지 알아본다.

"주사위를 두 번 굴릴 때 첫 번째에 짝수가 나오고 두 번째에 3 이하가 나올 확률은?" 지금 바로 대답하기 어려워도 이 시간이 끝나면 식 하나로 깔끔하게 구할 수 있다.

합사건과 덧셈 법칙#

두 사건 A, B가 있다. "A 또는 B가 일어나는" 사건을 합사건이라고 한다. 기호로는 A ∪ B라고 쓴다.

주사위 하나를 굴린다고 하자.

• 사건 A: 짝수 눈 → {2, 4, 6}
• 사건 B: 3 이하의 눈 → {1, 2, 3}

"짝수이거나 3 이하인" 사건 A ∪ B는 {1, 2, 3, 4, 6}이다. 5개이다.

전체 경우의 수는 6이므로 P(A ∪ B) = 5/6이다.

그런데 A와 B를 따로 계산하면 어떻게 되는가?

이 값은 5/6과 다르다. 왜일까?

표본공간 그림으로 보면 바로 알 수 있다.

2는 A에도 속하고 B에도 속한다. P(A) + P(B)로 더하면 2를 두 번 세게 된다. 그래서 한 번 빼줘야 한다.

이것이 덧셈 법칙이다.

A ∩ B는 "A이면서 동시에 B인" 곱사건이다.

확인한다.

정확히 일치한다.

특별한 경우가 있다. A와 B에 공통 원소가 없으면, 즉 A ∩ B = ∅ 이면 P(A ∩ B) = 0이다. 이런 두 사건을 서로 배반인 사건이라고 한다. 덧셈 법칙이 단순해진다.

주사위에서 사건 C "1 또는 2"와 사건 D "5 또는 6"은 겹치는 원소가 없다. 서로 배반이다.

곱사건과 곱셈 법칙#

두 사건이 동시에 또는 차례로 일어나는 경우를 곱사건이라고 한다. 기호로는 A ∩ B라고 쓴다.

동전 하나를 던지고 주사위 하나를 굴리는 실험을 한다. 두 실험은 서로 영향을 주지 않는다.

• 사건 A: 동전이 앞면
• 사건 B: 주사위가 짝수

표를 그려 본다.

전체 경우의 수: 12. 진하게 표시된 A ∩ B에 해당하는 경우: 3개.

따로 계산하면?

이처럼 두 사건이 서로에게 영향을 주지 않을 때 — 이를 독립인 사건이라고 한다 — 곱사건의 확률은 각각의 확률을 곱한 값이다.

그런데 영향을 주는 경우는 어떻게 달라지는가? 그것이 다음 섹션의 주제이다.

조건부 확률과 곱셈 법칙의 일반형#

카드 10장이 있다. 숫자가 1부터 10까지 쓰여 있다. 한 장을 뽑는다.

• 사건 A: 짝수 카드 → {2, 4, 6, 8, 10}
• 사건 B: 5 이상의 카드 → {5, 6, 7, 8, 9, 10}

"짝수를 뽑았다는 것을 이미 알고 있을 때, 그 카드가 5 이상일 확률"을 구하고 싶다.

A가 이미 일어났으니 표본공간이 줄었다. 이제 {2, 4, 6, 8, 10} 5개 중에서 5 이상인 것을 찾으면 된다.

이 확률을 조건부 확률이라고 한다. "A가 일어났을 때 B가 일어날 확률"이다. 기호로는 P(B|A)라고 쓴다.

계산한다.

표본공간 그림으로도 확인한다.

A 안의 5개 중 B도 만족하는 것은 3개 → 3/5. 일치한다.

조건부 확률 식을 변형하면 곱셈 법칙의 일반형이 나온다.

독립인 사건에서는 P(B|A) = P(B)이다. A가 일어났어도 B의 확률이 바뀌지 않는다는 뜻이다. 그러면 앞 섹션의 식 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)가 된다. 일반형에서 독립의 경우가 자연스럽게 나오는 것이다.

핵심 비교표

세 표상으로 한눈에 보기#

덧셈·곱셈·조건부 확률을 한 예시로 세 가지 표상을 통해 확인한다.

상황: 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 든 주머니에서 공을 하나 꺼낸다. 꺼낸 공을 돌려놓지 않고 다시 하나 더 꺼낸다.

사건 A: 첫 번째 공이 빨간색 사건 B: 두 번째 공이 빨간색

표본공간 그림 (Concrete)

첫 번째 꺼낸 결과에 따라 두 번째 경우의 수가 달라진다.

표 (Pictorial)

확률 계산식 (Abstract)

두 번 모두 빨간색: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10

첫 번째 꺼낸 공이 빨간색인 것을 알았을 때 두 번째도 빨간색일 조건부 확률: P(B|A) = 2/4 = 1/2

세 표상 모두 같은 결과를 가리킨다.

오개념 직격 — 독립과 배반을 구분하기#

확률을 배울 때 가장 자주 만나는 오해가 있다.

이 말은 틀리다. 배반과 독립은 전혀 다른 개념이다.

배반인 두 사건은 한쪽이 일어나면 다른 쪽이 반드시 일어나지 않는다. 이것은 오히려 강한 종속이다.

반례: 주사위에서 A = {1, 2}, B = {5, 6}은 서로 배반이다.

P(B|A) ≠ P(B)이므로 A와 B는 종속이다. 배반이면서 동시에 독립인 경우는 P(A) = 0 또는 P(B) = 0일 때뿐이다.

핵심: 배반은 집합의 겹침 문제, 독립은 확률의 영향 문제이다. 두 성질은 별개이다.

주요 개념#