역이 참이어도 원명제가 참인 건 아니다 — 명제·역·이·대우·반례

앞선 글에 우리는 집합을 배웠다. 원소를 중괄호로 묶고, 벤 다이어그램으로 관계를 그렸다.

이 글에서는 집합의 언어에서 한 걸음 더 나아간다. 집합이 "무엇이 모여 있는가"를 말한다면, 오늘 배울 명제는 "그것이 참인가 거짓인가"를 판단한다. 수학의 모든 정리와 증명은 이 명제 위에 세워져 있다.

명제란 무엇인가#

다음 문장들을 읽어 본다.

• "2는 짝수이다."
• "모든 소수는 홀수이다."
• "저 꽃은 예쁘다."
• "x + 1 = 5"

어떤 문장이 참인지 거짓인지 분명히 판단할 수 있는가?

"2는 짝수이다" — 참이다. "모든 소수는 홀수이다" — 거짓이다. 2는 소수이지만 짝수이기 때문이다.

그런데 "저 꽃은 예쁘다"는 사람마다 판단이 다르다. 참인지 거짓인지 하나로 정할 수 없다. "x + 1 = 5"는 x가 무엇인지에 따라 달라진다. 아직 참·거짓이 정해지지 않았다.

이렇게 참인지 거짓인지 분명히 정할 수 있는 문장을 명제(참 또는 거짓을 분명히 판단할 수 있는 문장)라고 한다.

명제가 되려면 "참" 또는 "거짓" 딱 하나로 결론이 나야 한다.

(가) 3의 배수는 홀수이다. (나) 저 문제는 어렵다. (다) 1은 소수가 아니다.

'만약 p이면 q' — 조건부 명제#

수학에서 가장 많이 쓰이는 명제 형식이 있다.

"만약 p이면 q이다."

이것을 기호로 p → q 라고 쓴다. p를 가정(참이라고 먼저 받아들이는 조건), q를 결론(가정으로부터 이끌어 낸 것)이라고 한다.

예시로 본다.

가정 p: "어떤 수가 4의 배수이다" / 결론 q: "그 수는 2의 배수이다"

4의 배수(4, 8, 12, 16, 20 ...)는 모두 2의 배수이기도 한다. 그러니까 이 명제는 참이다.

집합 언어로도 볼 수 있다. p → q가 참이라는 것은 p를 만족하는 집합이 q를 만족하는 집합 안에 들어 있다는 뜻이다. 글에서 본 부분집합 그림이 그대로 살아 있다.

진리표로도 본다.

p → q가 거짓이 되는 경우는 단 하나이다. p가 참인데 q가 거짓인 경우. 가정은 성립했는데 결론이 무너진 경우이다.

p가 거짓이면 — 가정 자체가 성립하지 않으니 — 결론이 어떻든 명제에 흠이 없다. 그래서 나머지 세 경우는 모두 참이다.

역·이·대우 — 화살표를 뒤집고 부정하기#

p → q 하나에서 방향을 바꾸거나 부정(원래 조건을 뒤집은 것, ¬p: "p가 아닌 것")을 붙이면 세 개의 새로운 명제를 만들 수 있다.

예시로 확인한다. 원명제: "4의 배수이면 2의 배수이다." — 참

• 역: "2의 배수이면 4의 배수이다." — 2는 2의 배수지만 4의 배수가 아니다. 거짓
• 이: "4의 배수가 아니면 2의 배수가 아니다." — 6은 4의 배수가 아니지만 2의 배수이다. 거짓
• 대우: "2의 배수가 아니면 4의 배수가 아니다." — 2의 배수가 아닌 수(3, 5, 7 ...)는 모두 4의 배수가 아니기도 한다. 참

여기서 중요한 규칙을 발견했는가?

이 규칙이 성립하는 이유를 생각해 본다. 원명제 p → q가 거짓이 되는 경우는 "p인데 q가 아닌 것"이 존재할 때이다. 그것은 곧 "¬q인데 ¬p가 아닌 것", 즉 대우 ¬q → ¬p가 거짓이 되는 경우와 정확히 같다. 그래서 둘은 항상 참이거나 거짓이다.

반례 — 거짓임을 보여주는 단 하나의 예#

명제가 참이라는 것을 보이려면 모든 경우에 성립함을 확인해야 한다. 그런데 명제가 거짓이라는 것을 보이려면 단 하나의 반대 사례만 있으면 충분하다.

이 단 하나의 사례를 반례(명제가 거짓임을 보여주는 구체적인 예)라고 한다.

예시로 본다.

명제: "소수는 모두 홀수이다."

2를 생각한다. 2는 소수이다. 그런데 2는 홀수가 아닌 짝수이다. "2"라는 반례 하나로 이 명제는 거짓이 확정된다.

반례를 찾을 때는 가정을 만족하지만 결론을 만족하지 않는 것을 찾으면 된다. p → q의 반례: p는 참, q는 거짓인 경우.

반례는 하나로 충분하다. 반례가 하나라도 있으면 "모든 경우에 성립한다"는 주장이 무너지기 때문이다.

자주 헷갈리는 점#

고1 수학에서 가장 자주 보이는 오개념이 있다.

역과 원명제는 서로 독립이다. 역이 참이어도 원명제가 거짓일 수 있고, 원명제가 참이어도 역이 거짓일 수 있다.

"4의 배수이면 2의 배수이다"는 참이다. 그런데 그 역인 "2의 배수이면 4의 배수이다"는 거짓이다. 반례는 2입니다.

역이 원명제와 항상 같은 진리값을 가지려면 p ↔ q, 즉 p와 q가 필요충분조건 관계일 때뿐이다. 이것은 추후 심화에서 다룬다.

원명제와 항상 진리값이 같은 것은 역·이·대우 중 대우뿐이다. 이것을 꼭 기억해 둔다.

주요 개념#