함수란 무엇인가 — 정의역·합성·역함수까지 한 번에 잡는 고1 수학

자판기에서 함수로 — 오늘의 출발점#

글에서 고차방정식과 절댓값 부등식을 정리했다. 방정식은 "조건을 만족하는 x를 찾는 것"이었다.

이 글에서는 한 걸음 더 나아간다. x를 하나 정하면 y가 하나 결정되는 대응 규칙 자체를 수학 언어로 정의한다. 이것이 함수이다.

중2(앞선 글)에서 자판기 모델로 함수를 처음 만났다. 이 글에서는 그 아이디어를 고등 수준으로 격상시킨다.

1. 함수의 정의 — 정의역·공역·치역#

자판기 버튼을 하나 누르면 음료가 하나 나온다.

버튼들의 집합을 X, 음료들의 집합을 Y라 한다.

X의 원소 하나마다 Y의 원소가 정확히 하나 대응된다. 이것이 함수이다.

치역은 공역보다 작을 수 있다. 오늘 콜라·주스만 눌렸다면 치역 = {콜라, 주스}, 공역 = {콜라, 주스, 물}이다.

함수 판별 기준: "X의 모든 원소에 대해, 출력이 정확히 하나인가?"

2. 일대일 함수와 일대일 대응#

함수 중에 특별한 종류가 있다.

일대일 함수(단사함수): 서로 다른 입력은 반드시 서로 다른 출력으로 연결된다.

일대일 대응(전단사함수): 일대일 함수이면서 치역 = 공역인 경우이다. Y의 원소 중 대응받지 못한 것이 없다.

왜 일대일 대응이 중요한가? 역함수를 만들려면 반드시 일대일 대응이어야 하기 때문이다.

3. 합성함수 — 두 기계를 이어 붙이기#

자판기 두 대를 직렬 연결하면? 첫 번째에 숫자를 넣으면 알파벳이 나오고, 두 번째에 알파벳을 넣으면 도형이 나온다. 두 기계를 하나로 합친 것이 합성함수이다.

f: X → Y, g: Y → Z 일 때 합성함수 (g ∘ f)(x)는:

"먼저 f를 적용하고, 그 결과에 g를 적용한다."

구체 예시: f(x) = 2x + 1, g(x) = x²

주의할 점이다. (g ∘ f)(x)와 (f ∘ g)(x)는 보통 다르다.

4. 역함수 — 기계를 거꾸로 돌리기#

콜라를 자판기에 넣으면 어떤 버튼이 눌렸는지 알아내는 기계. 그것이 역함수 f⁻¹이다.

f: X → Y가 일대일 대응이면 역함수 f⁻¹: Y → X가 존재한다.

역함수 구하는 4단계:

예시: f(x) = 2x + 1 의 역함수

검증: f(3) = 7 이었으니, f⁻¹(7) = (7−1)/2 = 3. 일치한다.

그래프로 보면: y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 y = x 직선에 대해 대칭이다.

• y = f(x) 위의 점 (a, b) ↔ y = f⁻¹(x) 위의 점 (b, a)

중요한 성질이다.

f와 역함수는 서로를 "원상 복구"하는 관계이다.