삼차방정식부터 절댓값 부등식까지 — 방정식·부등식 체계를 한눈에

중3에서 이차방정식을 인수분해·완전제곱식·근의 공식으로 풀었다. 중2에서는 부등식으로 x의 범위를 구했다.

고1 이 글에서는 그 두 흐름을 통합하는 시간이다. 방정식은 삼차·사차로 확장하고, 부등식은 절댓값 기호가 붙은 형태까지 다룬다. 그리고 방정식 두 개가 동시에 성립하는 연립방정식도 만난다.

세 주제는 달라 보이지만 공통 언어가 있다. 수직선 ↔ 그래프 ↔ 대수 풀이, 이 세 표상이 항상 움직인다.

풀이의 공통 언어#

인수정리로 삼차방정식을 분해하고, 가감법·대입법으로 연립방정식을 소거하고, 절댓값을 수직선 위 거리로 읽으면 세 체계가 하나로 연결된다.

고차방정식·연립방정식·절댓값 부등식은 각각 다른 도구를 쓰지만, 모든 해를 결국 수직선이나 그래프 위에 점·구간으로 나타낸다는 공통점이 있다. 대수가 막힐 때 그래프를 보고, 그래프가 모호할 때 대수로 확인하는 습관이 이번 글의 핵심이다.

삼차·사차방정식 — 인수정리가 열쇠이다#

이차방정식은 인수분해로 풀었다. x³이 들어간 삼차방정식(x³항이 들어간 방정식으로, 최대 세 개의 해를 가질 수 있는 방정식)은 어떻게 어떻게 다룰까?

핵심 도구는 인수정리(다항식 P(x)에서 P(a) = 0이면 (x - a)가 P(x)의 인수라는 정리)이다.

예시: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0이므로 인수정리에 의해 (x - 1)이 인수이다.

조립제법(다항식을 (x - a)로 나눌 때 계수만 이용해 빠르게 계산하는 방법)으로 나눈다.

몫은 x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)이다.

따라서 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0, 해: x = 1, 2, 3.

수직선에는 세 해를 점으로 표시한다.

사차방정식도 비슷한 방식이다.

사차방정식(x⁴항이 들어간 방정식으로, 최대 네 개의 해를 가질 수 있는 방정식) 중 x⁴ - 5x² + 4 = 0처럼 x² = t로 치환하면 이차방정식이 된다.

t = x²이므로 x² = 1 → x = ±1, x² = 4 → x = ±2. 해: x = -2, -1, 1, 2.

연립방정식 — 두 조건을 동시에 만족한다#

미지수가 x, y 두 개라면 방정식 하나만으로는 부족하다. 연립방정식(두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값을 구하는 것)이 필요한 이유이다.

두 직선이 교차하는 점을 찾는 것과 같다.

방법 1 — 대입법#

대입법(한 방정식을 다른 방정식에 대입해 미지수 하나를 없애는 풀이법)으로 풀다.

y = 2x + 1을 직선 2에 대입한다.

해: (x, y) = (2, 5).

방법 2 — 가감법#

가감법(연립방정식에서 두 방정식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 없애는 풀이법)은 계수를 맞춰 한 미지수를 소거한다.

①과 ②를 더하면 y 항이 사라진다.

해: (x, y) = (3, 3.5).

두 직선 그래프에서 교점이 (3, 3.5)임을 확인할 수 있다.

절댓값 부등식 — 수직선 위 거리로 읽는다#

절댓값(수직선에서 0으로부터의 거리. |x|는 x가 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냄)은 방향을 없애고 거리만 남긴다.

절댓값 부등식(절댓값 기호가 포함된 부등식. 수직선상 거리 조건으로 해석할 수 있음)을 수직선 위 거리로 읽어 본다.

|x - a| < b — 구간형#

|x - a|는 "x가 a에서 얼마나 떨어져 있는가"이다. |x - a| < b는 "x가 a에서 b보다 가까운 범위"이다.

예시: |x - 3| < 2

대수로 풀면 -2 < x - 3 < 2 → 1 < x < 5. 수직선 결과와 일치한다.

|x - a| > b — 반직선형#

"x가 a에서 b보다 먼 범위"이다. 중심 a 기준 양쪽으로 b보다 더 멀리 나간 곳이다.

예시: |x + 1| > 3 (|x - (-1)| > 3이므로 중심 -1)

대수로 풀면 x + 1 < -3 또는 x + 1 > 3 → x < -4 또는 x > 2. 일치한다.

풀이 공식 정리#

자주 헷갈리는 점#

추가로 자주 생기는 오류를 정리한다.

• 조립제법 부호 오류: (x - a)로 나눌 때 행에 a를 쓰는데, x + 2로 나눌 때는 a = -2임을 혼동하는 경우가 잦다.
• 가감법에서 계수 부호 오류: y 항 소거 위해 한 식에 -1을 곱할 때 전체 부호를 바꾸지 않는 실수가 흔하다.
• 인수 후보 무시: P(a) = 0인 a를 찾을 때 상수항의 약수만이 후보임을 모르고 무작위로 대입하는 경우가 많다.

세 체계를 하나로#

삼차방정식·연립방정식·절댓값 부등식은 각각 달라 보이지만, 공통 원리가 있다.

대수 풀이가 막혔을 때 그래프나 수직선으로 먼저 범위를 가늠하고, 반대로 수직선을 보고 대수 식을 거꾸로 세울 수도 있다.

주요 개념#