유리함수와 무리함수 — 점근선·정의역을 한눈에

앞선 글과 오늘을 이다#

지난 글에서 함수(입력 하나에 출력이 정확히 하나 대응되는 규칙)의 정의와 합성함수·역함수를 배웠다. 함수를 그래프로 나타낼 때는 x를 바꿔 가며 y를 계산해 점을 찍었다.

오늘도 같은 방식으로 접근한다. 그런데 오늘 만날 두 함수는 직선도 포물선도 아닌 새로운 곡선을 그린다. 분모에 x가 들어가거나, 루트(√) 기호가 붙은 함수이다.

표를 채우면서 그 형태를 발견한다.

y = 1/x — 표를 채워 쌍곡선을 발견한다#

유리함수(분모에 x가 포함된 분수 꼴 함수, y = k/x 형태)에서 가장 단순한 예는 y = 1/x이다.

x에 여러 값을 넣어 y를 계산한다.

x = 0일 때 1 ÷ 0은 계산이 안 된다. 0으로 나누는 것은 수학에서 정의되지 않기 때문이다. 그래서 정의역(함수에 입력할 수 있는 x 값의 범위)은 x ≠ 0, 즉 0을 제외한 모든 실수이다.

이 점들을 좌표평면에 찍어 이으면:

오른쪽 위(x > 0, y > 0)와 왼쪽 아래(x < 0, y < 0)에 두 개의 곡선이 나타난다. 이 두 곡선을 합쳐서 쌍곡선(y = k/x 형태의 유리함수 그래프가 이루는 두 개의 대칭 곡선)이라고 한다.

치역(함수가 출력할 수 있는 y 값의 범위)도 y ≠ 0, 즉 0을 제외한 모든 실수이다. y = 0은 절대 도달하지 않기 때문이다.

점근선 — 곡선이 가까워지지만 닿지 않는 선#

y = 1/x의 그래프를 자세히 보면, 곡선이 x축과 y축에 점점 가까워지지만 결코 닿지 않는다.

• x가 ∞로 커질수록 y → 0이다. 하지만 y = 0(x축)에는 닿지 않는다.
• x가 0에 가까워질수록 y → ∞이다. 하지만 x = 0(y축)에는 닿지 않는다.

이처럼 곡선이 한없이 가까워지지만 절대 만나지 않는 직선을 점근선(그래프가 한없이 가까워지지만 절대 만나지 않는 직선)이라고 한다.

y = 1/x에서:

• 수직 점근선: x = 0 (y축)
• 수평 점근선: y = 0 (x축)

이제 y = 2/x와 y = -1/x를 y = 1/x와 비교해 본다.

• k > 0이면 쌍곡선이 1·3 사분면(오른쪽 위, 왼쪽 아래)에 위치한다.
• k < 0이면 쌍곡선이 2·4 사분면(왼쪽 위, 오른쪽 아래)에 위치한다.
• 점근선은 k의 부호나 크기에 상관없이 항상 x = 0 (y축)과 y = 0 (x축)이다.

y = √x — 정의역이 제한되는 곡선#

이번에는 무리함수(루트(√) 기호가 포함된 함수, y = √x 형태)를 탐구한다.

y = √x에서 x에 여러 값을 넣어 본다.

음수의 제곱근은 실수 범위에서 정의되지 않는다. 그래서 y = √x의 정의역은 x ≥ 0, 즉 0 이상의 실수이다.

이 점들을 좌표평면에 찍어 이으면:

출발점은 (0, 0)이고, 오른쪽으로 갈수록 천천히 위로 올라가는 완만한 곡선이다. y 값은 항상 0 이상이므로 치역은 y ≥ 0이다.

요약:

• 정의역: x ≥ 0
• 치역: y ≥ 0
• 그래프: (0, 0)에서 시작해 오른쪽 위로 뻗는 곡선

두 함수를 나란히 비교한다#

두 함수를 나란히 비교해 본다.

유리함수는 분모가 0이 되는 x 값을 정의역에서 제외한다.

무리함수는 루트 안이 음수가 되는 x 값을 정의역에서 제외한다.

두 경우 모두 정의역 제한이 생기지만 이유가 다르다. 이 차이를 확실히 기억해 둔다.

확인 활동 — 정의역과 점근선 구하기

다음 함수의 정의역을 구하고, 유리함수라면 점근선도 구한다.

표상 전환으로 이해를 굳히기#

같은 함수를 세 가지 표상으로 이해하면 훨씬 깊이 이해할 수 있다. y = 1/x를 예로 들다.

표로 보기: 위의 계산표에서 x가 0에 가까워질수록 |y|가 폭발적으로 커지고, x가 커질수록 y가 0에 가까워지는 패턴이 보인다.

그래프로 보기: 두 개의 곡선이 점근선(x = 0, y = 0)을 중심으로 각각 1사분면·3사분면에 퍼져 있다.

식으로 보기: y = k/x에서 k의 부호가 사분면을 결정하고, k의 절댓값은 곡선이 원점에서 얼마나 빠르게 멀어지는지(폭)에 영향을 준다.

세 표상이 같은 함수를 가리킨다는 것, 느껴지는가?