집합은 무리 짓기의 언어

고등 수학 첫 시간은 집합에서 시작한다#

고등 수학의 첫 시간입니다.

중3(앞선 글) 마지막 글에서 우리는 대푯값과 산포도로 자료를 요약하는 법을 배웠다. 그때 "평균이 같아도 분포가 다를 수 있다"는 사실을 확인했다.

오늘부터는 수학을 다루는 언어 자체를 배운다. 수학자들은 "짝수의 모임", "소수의 모임"처럼 대상을 분명한 기준으로 모아 이름을 붙이는 것에서 출발한다. 그 모임이 바로 집합이다.

집합은 고등 수학 전체의 기초 언어이다. 명제, 함수, 확률, 미적분 — 모두 집합 언어 위에서 쓰인다. 첫 단어를 제대로 잡아 두면 이후 모든 단원이 훨씬 자연스럽게 읽힌다.

집합이란 무엇인가 — 기준이 명확해야 한다#

집합은 어떤 모임이든 될 수 있는가?

다음 두 모임을 비교해 봅시다.

• 모임 A: 10 이하의 자연수
• 모임 B: 멋진 수

모임 A는 어떤 수가 들어가야 하는지 누구나 판단할 수 있다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — 이 열 개가 전부이고, 11은 절대 들어갈 수 없다.

모임 B는 다릅니다. "멋지다"는 기준이 사람마다 다르다. 포함 여부를 객관적으로 결정할 수 없다.

집합은 어떤 대상이 그 모임에 포함되는지를 예/아니오로 명확히 결정할 수 있어야 합니다.

집합 안의 각 대상을 원소라고 하며, 원소 관계를 기호로 씁니다.

기호 ∈는 "belongs to(속한다)"에서 왔다.

① 우리 반 학생 중 키가 170 cm 이상인 학생의 모임
② 아주 큰 수의 모임
③ 1부터 100까지의 짝수의 모임
④ 아름다운 도형의 모임

집합을 표현하는 세 가지 방법#

같은 집합이라도 상황에 따라 다른 표현을 선택한다.

원소 나열법#

집합의 원소를 중괄호 { } 안에 모두 나열하는 방법입니다.

원소의 순서는 상관없다. {1, 2, 3}과 {3, 1, 2}는 같은 집합입니다. 같은 원소를 두 번 써도 의미가 없다. {1, 1, 2}는 {1, 2}와 같다.

조건 제시법#

원소가 만족해야 할 조건을 기호로 제시하는 방법입니다.

세로줄 |는 "such that(~인 것)"을 뜻한다.

벤 다이어그램#

집합을 닫힌 곡선(원이나 타원)으로 표현하는 시각화 방법입니다. 원 안에 원소를 적거나, 두 집합의 관계를 겹치는 영역으로 나타낸다. 이 단원 전체에서 가장 자주 활용할 도구이다.

부분집합과 공집합 — 집합 안의 집합#

한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 수 있는가?

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}를 봅시다. A의 원소 1, 2, 3이 모두 B에도 들어 있다. 이럴 때 A를 B의 부분집합이라고 하고, 기호로 이렇게 씁니다.

부분집합 판정 방법: A의 모든 원소가 B에 속하면 A ⊂ B. 원소가 하나라도 B에 없으면 A ⊄ B.

모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. A ⊂ A는 항상 성립합니다.

공집합#

원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하고, 기호 ∅로 나타냅니다.

중요한 성질: 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. ∅ ⊂ A는 항상 성립한다.

두 집합의 관계 — 교·합·차·여#

두 집합이 만나면 어떤 관계가 생기는가?

전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 위에서 두 집합을 봅시다.

교집합 A ∩ B#

두 집합 모두에 속하는 원소들의 집합을 교집합이라 하고 기호 ∩로 나타냅니다.

벤 다이어그램에서 교집합은 두 원이 겹치는 영역입니다.

합집합 A ∪ B#

두 집합 중 어느 하나라도 속하는 원소 전체의 집합을 합집합이라 하고 기호 ∪로 나타냅니다.

두 집합의 원소를 모두 한 번씩 씁니다. 3, 4, 5는 두 집합에 겹쳐 있어도 한 번만 쓴다.

차집합 A - B#

A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합을 차집합이라 하고 A - B로 나타냅니다.

A - B와 B - A는 보통 다르다. 순서가 중요하다.

여집합 Aᶜ#

전체집합 U에서 A에 속하지 않는 원소 전체의 집합을 여집합이라 하고 Aᶜ으로 나타냅니다.

기호 한눈에 보기#

핵심 오개념 바로잡기#

다음 글 예고#

이 글에서는 집합의 뜻과 ∈·⊂·∩·∪·∅ 기호 전체를 배웠다. 벤 다이어그램으로 관계를 시각화하는 방법도 익혔다.

다음 시간(앞선 글)에는 명제를 배운다. "3은 홀수이다", "짝수이면 2의 배수이다"처럼 참·거짓을 판별할 수 있는 문장이 명제이다. 오늘 배운 집합 언어가 명제의 기반이 된다. 다음 글에서는 "A이면 B이다"라는 명제의 역·이·대우와 반례를 다룬다.