다항식의 연산과 나눗셈

앞선 글과 오늘의 연결#

앞선 글에는 명제와 "만약 A이면 B"의 구조를 배웠다. 조건을 따지고 참·거짓을 판별하는 논리의 틀이었죠.

이 글에서는 그 논리의 틀을 다항식에 적용한다. 중3에서 곱셈 공식과 인수분해를 익혔던 흐름을 떠올려 본다. 거기서 한 발 더 나아가, 이번에는 다항식을 나누는 방법을 배운다. 그리고 그 나눗셈에서 아주 강력한 두 가지 정리가 탄생한다. 나머지만 알면 식의 값을 바로 구할 수 있다는 것, 이 점이 오늘의 핵심이다.

다항식 나눗셈이란 무엇인가#

정수 나눗셈을 먼저 떠올려 본다.

17을 5로 나누면 어떻게 되는가?

몫 (나눗셈의 결과로 나오는 다항식)은 3, 나머지 (나눈 뒤 남는 다항식 또는 수)는 2이다. 그리고 나머지 2는 반드시 나누는 수 5보다 작다.

다항식 나눗셈도 똑같은 구조이다. 피제식 (나눗셈에서 나눠지는 다항식) P(x)를 제식 (나눗셈에서 나누는 다항식) D(x)로 나누면:

Q(x)는 몫이고, R(x)는 나머지이다. 나머지의 차수는 반드시 D(x)의 차수보다 낮아야 한다. 정수에서 나머지가 나누는 수보다 작아야 하는 것과 같은 원리이다.

예시를 든다. P(x) = x² + 5x + 3을 D(x) = x + 2로 나눈다.

결과: x² + 5x + 3 = (x + 2)(x + 3) + (−3)

Q(x) = x + 3, R(x) = −3. 나머지 −3은 차수 0으로, 제식 x + 2의 차수 1보다 낮으니 나눗셈이 완료됐다.

나머지 정리 — 나눠 보지 않고 나머지를 구한다#

이제 놀라운 지름길을 발견한다.

P(x)를 (x − a)로 나눈다고 해본다. (x − a)는 일차식이므로 나머지는 반드시 상수 R이다.

이 등식은 모든 x에 대해 성립한다. 여기서 x = a를 대입하면:

(x − a) 항이 통째로 0이 되어 나머지 R만 남는다.

나머지 정리: P(x)를 (x − a)로 나눈 나머지 = P(a)

예시를 든다. P(x) = x³ − 2x² + x + 4를 (x − 2)로 나눈 나머지를 구한다.

나눗셈 알고리즘 대신 x = 2를 바로 대입하면 된다.

긴 나눗셈 없이 바로 구했다!

주의: (x + 1)로 나눌 때는 (x − (−1))이니까 a = −1이다.

인수정리 — 나머지가 0이면 인수가 된다#

나머지 정리에서 한 걸음만 더 가면 인수정리가 나온다.

나머지 정리에서 나머지가 0이라면 어떻게 되는가?

P(x)를 (x − a)로 나눈 나머지가 0이면:

즉, P(x)는 (x − a)를 인수로 가진다.

반대로, (x − a)가 P(x)의 인수라면:

인수정리: P(a) = 0 ⟺ (x − a)는 P(x)의 인수

이 동치 (두 조건이 서로 동일한 의미를 가져 한 쪽이 성립하면 다른 쪽도 반드시 성립하는 관계) 관계가 핵심이다. "P(a) = 0"과 "(x − a)가 인수"는 완전히 같은 말이다. 지난 글에서 배운 명제의 동치 관계가 바로 여기서 등장한다!

인수정리를 이용한 인수분해#

P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6을 인수분해해본다.

먼저 P(a) = 0을 만족하는 a를 찾는다. 상수항 −6의 약수 ±1, ±2, ±3, ±6을 차례로 시험한다.

P(1) = 0이므로 (x − 1)이 인수이다! 이제 P(x) ÷ (x − 1)을 계산한다.

인수정리로 첫 번째 인수 (x − 1)을 찾고, 나눗셈으로 나머지 인수를 분해했다.

세 개념을 연결하면#

나눗셈 → 나머지 정리 → 인수정리가 어떻게 이어지는지 정리해본다.

다음 글 예고#

다항식을 자유롭게 다룰 수 있게 됐으니, 이제 방정식과 부등식의 세계로 넘어간다. 고차방정식은 오늘 배운 인수정리로 풀 수 있다. 또, 연립방정식과 절댓값이 들어간 부등식처럼 다양한 형태도 만난다. "이 방정식의 해가 과연 몇 개나 있을까?"라는 질문에 답할 수 있게 된다면, 함수의 그래프가 완전히 새롭게 보이기 시작한다.