자와 컴퍼스 작도

작도의 의미#

좌표평면에서는 순서쌍 (x, y)로 도형의 꼭짓점 위치를 기록한다. 작도에서는 숫자 좌표 대신 도구의 성질을 이용해 도형을 정확히 만든다.

작도에서 사용하는 도구는 눈금 없는 자와 컴퍼스다.

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용해 도형을 그리는 수학적 절차다. 자로는 두 점을 이어 선분을 긋고, 컴퍼스로는 원을 그리거나 두 점 사이의 길이를 다른 곳으로 정확히 옮긴다. 숫자를 읽는 눈금은 사용하지 않는다.

눈금을 쓰지 않는 이유는 측정값보다 관계를 보존하는 일이 중요하기 때문이다. 컴퍼스로 길이를 옮기면 같은 벌림이 유지되므로, 도형의 길이 관계를 정확히 복사할 수 있다.

길이 옮기기와 수직 이등분선#

길이 옮기기#

선분 AB와 같은 길이를 다른 곳에 옮기는 과정이다.

1. 컴퍼스의 두 끝을 선분 AB의 양 끝 A, B에 맞추어 벌린다. (길이 고정)
2. 새로운 점 C를 찍는다.
3. C에 컴퍼스 침을 꽂고, 벌림을 그대로 유지해 호를 그린다.
4. 호와 직선이 만나는 점 D를 표시한다.

이제 CD의 길이는 AB와 정확히 같다. 컴퍼스 벌림을 그대로 옮겼기 때문이다.

수직 이등분선#

선분 AB를 정확히 반으로 나누고, 그 중점에 수직으로 선을 세우는 것을 수직 이등분선(선분의 중점을 지나며 선분과 직각을 이루는 선)이라고 한다.

작도 방법:

1. 컴퍼스 침을 A에 꽂고, AB의 절반보다 조금 더 길게 벌려 위아래로 호를 그린다.
2. 같은 벌림 상태로 B에 침을 꽂고, 위아래로 호를 그린다.
3. 두 호가 만나는 점 P(위)와 Q(아래)를 찾는다.
4. P와 Q를 자로 잇는다. 이 선이 수직 이등분선이다.

수직 이등분선 위의 모든 점은 A와 B에서 거리가 같다. 예를 들어 수직 이등분선 위의 임의의 점 P를 찍으면 PA = PB가 성립한다. 이 성질 때문에 수직 이등분선은 "같은 거리의 점들의 모임"으로도 해석된다.

각도 옮기기와 각의 이등분선#

각도 옮기기#

이미 그려진 각 ∠AOB와 크기가 같은 각을 다른 곳에 옮기는 방법이다.

1. O에 컴퍼스 침을 꽂고 호를 그어 변 OA, OB와 각각 점 P, Q에서 만나게 한다.
2. 새로운 꼭짓점 O'을 찍고, 새 반직선을 하나 긋는다.
3. O에서 했던 것과 같은 벌림으로, O'에 침을 꽂고 호를 그어 새 반직선과 점 P'에서 만나게 한다.
4. 컴퍼스 벌림을 PQ의 길이에 맞추어, P'에서 호를 그어 교점 Q'을 찾는다.
5. O'과 Q'을 자로 잇는다.

∠AO'Q'의 크기는 ∠AOB와 정확히 같다.

각의 이등분선#

각 ∠AOB를 정확히 둘로 나누는 선을 각의 이등분선(각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 반직선)이라고 한다.

작도 방법:

1. O에 침을 꽂고 호를 그어 변 OA, OB와 각각 점 P, Q에서 만나게 한다.
2. P에 침을 꽂고 호를 그린다.
3. 같은 벌림으로 Q에 침을 꽂고 호를 그어, 두 호의 교점 R을 찾는다.
4. O와 R을 자로 잇는다. 이 선이 각의 이등분선이다.

결과적으로 ∠BOR = ∠ROA가 된다. 두 호의 교점이 양쪽 변에서 같은 거리에 놓이기 때문이다.

이등변삼각형 작도#

앞의 작도를 모으면 이등변삼각형(두 변의 길이가 같은 삼각형)을 만들 수 있다. 컴퍼스는 같은 길이를 두 번 옮기는 역할을 한다.

작도 방법 — 밑변 BC와 두 변의 길이 a를 주었을 때:

1. 자로 밑변 BC를 긋는다.
2. 컴퍼스 벌림을 길이 a에 맞춘다.
3. B에 침을 꽂고 호를 그린다.
4. 같은 벌림으로 C에 침을 꽂고 호를 그린다.
5. 두 호가 만나는 점을 꼭짓점 A로 잡는다.
6. A-B, A-C를 자로 잇는다.

AB = AC가 되는 이유는 두 변 모두 컴퍼스의 같은 벌림으로 그렸기 때문이다. 같은 벌림은 같은 거리를 보존한다.

이등변삼각형에서 꼭짓점 A에서 BC로 수직 이등분선을 내리면, 그 선은 이등변삼각형의 대칭선이 된다. 두 삼각형이 완전히 포개지기 때문이다.

5대 기본 작도 한눈에#

5대 기본 작도는 서로 연결된다.

다음 학년으로 이어지는 개념#

중2에서는 변하는 양들의 관계를 다루는 일차함수가 본격적으로 등장한다. 걸을수록 거리가 늘어나는 관계, 물을 채울수록 높이가 올라가는 관계를 그래프로 나타내면 직선이 된다.

좌표평면은 그 직선을 그리는 무대이고, 변수와 방정식은 관계를 식으로 표현하는 언어다. 중1에서 다룬 수·문자·좌표·작도는 이후 함수와 기하를 배우기 위한 기반이 된다.