수직선 위의 분수 — 유리수의 세계

음수의 곱셈까지 다루면 정수의 사칙계산 일부가 정리된다. 하지만 정수만으로는 수직선을 충분히 설명할 수 없다.

지금까지 다룬 수는 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … 같은 정수였다.

정수와 정수 사이에는 -3/4, -1/2 같은 수가 놓인다. 이 수들을 포함하려면 유리수라는 더 넓은 집합이 필요하다.

유리수는 두 정수 p, q(q는 0이 아님)로 p/q 형태를 만들 수 있는 수다. 자연수와 정수는 모두 유리수 안에 들어간다.

정수 3은 3/1이라고 쓸 수 있고, 음수 -5도 -5/1로 쓸 수 있다. 분모를 1로 잡으면 모든 정수가 p/q 형태가 되므로 정수는 유리수의 일부다. 자연수는 정수의 일부이므로 자연수 역시 유리수 안에 포함된다.

정수와 정수 사이의 수#

수직선을 확대해 보면 정수 사이가 비어 있지 않다는 점이 분명해진다.

정수는 수직선 위의 점으로 표시된다. 그러나 두 정수 사이에는 더 작은 간격으로 나눌 수 있는 수들이 계속 들어간다.

0과 1 사이에는 1/2, 1/4, 3/4 같은 분수가 있고, -1과 0 사이에도 -3/4, -1/2, -1/4 같은 수가 있다.

정수 사이를 채우는 분수까지 모두 모은 집합이 유리수다.

수 집합의 포함 관계#

자연수, 정수, 유리수는 서로 따로 떨어진 집합이 아니라 포함 관계를 이룬다.

자연수(1, 2, 3, … 처럼 1부터 시작해 하나씩 커지는 수)는 정수 안에 들어간다.

정수(…, -2, -1, 0, 1, 2, … 처럼 음수, 0, 양수를 모두 포함한 수)는 유리수 안에 들어간다.

정수가 유리수 안에 들어가는 이유는 모든 정수를 분모 1인 분수로 쓸 수 있기 때문이다. 3은 3/1, -5는 -5/1이다.

따라서 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수다. 작은 집합이 큰 집합 안에 들어 있다는 뜻이다.

자주 헷갈리는 점#

무리수가 유리수에 포함된다고 잘못 알기: √2나 π 같은 수는 유리수가 아니다. 유리수는 p/q 형태로 나타낼 수 있어야 한다. √2는 어떤 분수로도 정확히 나타낼 수 없으므로 무리수다. 무리수와 유리수는 서로 겹치지 않는다.

이분모 분수를 통분 없이 더하는 실수: 1/2 + 1/3 = 2/5라고 계산하면 안 된다. 분모의 최소공배수를 먼저 찾고 통분한 다음 분자끼리 더해야 한다. 수직선으로 보면 1/2과 1/3의 합이 2/5보다 훨씬 오른쪽에 있음을 확인할 수 있다.

주요 개념#