동전과 주사위로 보는 경우의 수

동전 한 개를 던지면 앞면 아니면 뒷면, 딱 2가지입니다.

주사위 한 개를 굴리면 1, 2, 3, 4, 5, 6 가운데 하나, 딱 6가지입니다.

이렇게 어떤 일이 일어날 수 있는 방법을 빠짐없이 세는 것이 경우의 수입니다. 이 글에서는 나무 그림으로 경우를 체계적으로 나열하고, 곱의 법칙으로 빠르게 계산하는 방법을 정리합니다.

경우의 수란 무엇인가?#

어떤 일이 일어날 수 있는 모든 방법의 수를 경우의 수라고 합니다.

동전을 한 번 던지면 앞면이 나오거나 뒷면이 나오거나, 두 가지입니다. 이때 경우의 수는 2입니다.

주사위를 한 번 굴리면 1, 2, 3, 4, 5, 6 가운데 하나가 나옵니다. 경우의 수는 6입니다.

경우의 수를 셀 때 가장 중요한 원칙은 빠짐없이, 중복 없이 세는 것입니다.

빠짐없이, 겹치지 않게 세려면 나무 그림을 쓰는 것이 좋습니다.

나무 그림을 이용한 체계적 나열#

카드 1, 2, 3이 한 장씩 있습니다. 이 중에서 두 장을 골라 순서대로 나란히 놓는 경우를 생각합니다.

머릿속으로만 세려고 하면 헷갈리기 쉽습니다. 그래서 나무 그림을 그립니다. 나뭇가지가 뻗어 나가듯 순서대로 가지를 이어 가면 빠뜨리거나 겹치는 일이 없습니다.

끝가지를 세어 보면 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1, 3-2로 6가지입니다.

같은 카드를 두 번 쓸 수 없으니까 1-1, 2-2, 3-3은 없습니다. 그래서 3 × 3 = 9가 아니라 6가지입니다.

나무 그림은 첫 번째 가지에서 차례대로 다음 가지로 이어가기 때문에 빠뜨리거나 겹칠 수 없습니다. 경우의 수를 처음 배울 때 나무 그림이 가장 믿을 만한 도구입니다.

곱의 법칙#

위에 입을 옷이 2벌, 아래에 입을 옷이 3벌 있는 상황을 봅니다.

나무 그림으로 그리면 흰 티에 3가지, 줄무늬 티에 3가지가 이어져서 끝가지가 모두 6개입니다.

2 × 3 = 6입니다. 위 옷의 가짓수와 아래 옷의 가짓수를 곱하면 바로 나옵니다!

이것이 바로 곱의 법칙입니다. 두 가지 일이 따로따로 일어날 때, 전체 경우의 수는 각각의 경우의 수를 곱하면 됩니다.

곱이 되는 이유는 위 옷 하나를 고를 때마다 아래 옷 3가지가 모두 짝이 될 수 있기 때문입니다. 흰 티에 3가지, 줄무늬 티에 3가지가 연결되므로 2 × 3 = 6입니다. 나무 그림의 끝가지 개수가 바로 이 원리를 눈으로 보여 줍니다.

동전 2개를 동시에 던지면 동전 하나가 2가지, 또 하나가 2가지이므로 2 × 2 = 4가지입니다.

나무 그림으로 확인하면 앞-앞, 앞-뒤, 뒤-앞, 뒤-뒤로 4가지. 곱의 법칙과 딱 맞습니다.

자주 헷갈리는 점#

더하기 vs 곱하기 혼동 (or vs and)

"또는(or)"과 "그리고(and)"를 헷갈리면 경우의 수 계산이 틀립니다.

• 더하기를 쓰는 경우: "주사위를 던져서 1이 나오거나 2가 나오는 경우의 수"입니다. 이때는 1이 나오는 1가지 또는 2가 나오는 1가지니까 1 + 1 = 2가지입니다. 같은 시행에서 둘 중 하나를 고를 때입니다.
• 곱하기를 쓰는 경우: "동전을 던지고 주사위를 굴리는 경우의 수"입니다. 이때는 동전 2가지 그리고 주사위 6가지니까 2 × 6 = 12가지입니다. 두 가지 일이 따로따로, 일어날 때입니다.

간단히 말하면 "그리고(and)"는 곱하기, "또는(or)"은 더하기에 가깝습니다. 두 일이 모두 일어나는지, 둘 중 하나만 고르는지 구분하면 실수가 줄어듭니다.

주요 개념#