레시피와 지도 속에 숨어 있던 수학 — 비례식으로 미지수 x 구하기

비례식은 서로 같은 비를 등호로 연결해 모르는 값을 찾는 도구입니다.

초5 때 배운 비와 비율은 "사진 가로:세로 = 3:2"처럼 두 양의 관계를 콜론으로 나타내는 방법이었습니다. 이 글에서는 그 비를 두 쌍 나란히 놓고, x라는 기호로 아직 모르는 수를 나타냅니다.

두 비가 같으면 비례식입니다#

요리 레시피에서는 물 3컵에 쌀 2컵이 맛있는 비율이라고 하겠습니다.

물이 6컵이 되면 쌀은 몇 컵 필요한지 표로 보면 관계가 분명해집니다.

물이 두 배가 되면 쌀도 두 배가 됩니다. 비율이 항상 같습니다!

두 비가 같을 때, 그것을 등호(=)로 연결해서 씁니다.

이렇게 두 비를 등호로 이어 놓은 식을 비례식 (두 비가 서로 같음을 나타내는 식)이라고 합니다.

3:2 = 6:4에서

• 바깥쪽 두 수(3과 4)를 외항 (비례식에서 바깥쪽에 있는 두 수)이라고 합니다.
• 안쪽 두 수(2와 6)를 내항 (비례식에서 안쪽에 있는 두 수)이라고 합니다.

예를 들어 비례식 4:3 = 8:6에서는 바깥쪽의 4와 6이 외항, 안쪽의 3과 8이 내항입니다.

외항의 곱과 내항의 곱은 항상 같습니다#

비례식 3:2 = 6:4에서 신기한 것이 있습니다.

• 외항끼리 곱하면: 3 × 4 = 12
• 내항끼리 곱하면: 2 × 6 = 12

다른 비례식에서도 같은 성질이 나타납니다.

언제나 외항의 곱과 내항의 곱이 같습니다!

이것을 비례식의 성질 (비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 항상 같다는 규칙)이라고 합니다.

3:2 = 6:4라는 것은 두 비율이 같다는 뜻입니다. 3/2 = 6/4에서 양쪽에 2×4를 곱하면 3×4 = 6×2가 됩니다. 이렇게 외항 곱 = 내항 곱이 나옵니다.

4:5 = 8:10도 외항의 곱 4×10과 내항의 곱 5×8이 모두 40이므로 맞는 비례식입니다.

모르는 수 x를 구하는 절차#

이제 이 성질로 값을 구할 수 있습니다. 물 3컵에 쌀 2컵인 레시피에서, 물 9컵이면 쌀은 6컵입니다.

모르는 수가 있을 때 수학에서는 그 자리에 x (아직 모르는 수를 나타내는 기호)를 씁니다.

비례식으로 쓰면:

3 : 2 = 9 : x

외항의 곱 = 내항의 곱이므로:

3 × x = 2 × 9 → 3x = 18 → x = 6

확인: 물 9컵, 쌀 6컵 → 외항 3×6=18, 내항 2×9=18. 맞습니다!

이번에는 물의 양을 모르는 문제도 같은 흐름으로 풉니다.

4 : 3 = x : 9에서 x는 얼마인지 계산합니다.

생활 속 비례식 문제#

비례식은 요리 레시피 말고도 여러 곳에 쓰입니다.

지도 문제: 지도에서 2cm가 실제 거리 5km입니다. 지도에서 6cm라면 실제 거리는 몇 km인지 구합니다.

비례식: 2 : 5 = 6 : x

2 × x = 5 × 6 → 2 × x = 30 → x = 15 → 실제 15km

그림자 문제: 키 1m인 막대의 그림자가 3m입니다. 그림자가 9m인 나무의 키는?

1 : 3 = x : 9 → 3 × x = 1 × 9 → x = 3 → 나무 키 3m

자동차가 2시간에 120km를 가고 같은 속도를 유지한다면, 5시간 이동 거리는 비례식으로 구할 수 있습니다.

자주 혼동하는 점#

비례식에서 자주 생기는 실수는 대응 관계를 어긋나게 쓰는 것입니다. 지도 2cm가 실제 5km라면, 왼쪽에는 지도 길이끼리, 오른쪽에는 실제 거리끼리 놓아야 합니다. 2 : 5 = 6 : x처럼 같은 종류끼리 같은 자리에 두면 계산 흐름이 안정됩니다.

또 하나는 외항과 내항을 곱한 뒤 나눗셈을 빠뜨리는 경우입니다. 3x = 18이 나오면 x = 18 ÷ 3 = 6까지 가야 합니다. 곱셈식으로 바꾼 뒤에는 미지수 앞의 수로 나누는 단계가 필요합니다.

주요 개념#