원기둥·원뿔·구 — 둥근 입체 도형의 부피 공식

원기둥의 전개도#

통조림 캔은 위아래에 동그란 뚜껑이 있고 옆면은 둥글게 감싸져 있습니다. 이런 모양이 원기둥 (위와 아래가 같은 크기의 원으로 이루어진 기둥 모양의 입체)입니다.

원기둥을 납작하게 펼치면 구성 요소가 분명해집니다.

펼쳐진 전개도 (입체를 펼쳐서 평면으로 나타낸 그림)는 세 조각으로 이루어져 있습니다.

• 위 원 1개 (반지름 r)
• 아래 원 1개 (반지름 r)
• 옆면 직사각형 1개

여기서 중요한 포인트! 옆면 직사각형의 가로 길이는 밑면 원의 둘레와 같습니다. 원의 둘레는 2πr이기 때문에 직사각형의 가로 = 2πr입니다.

이걸 알면 원기둥의 겉넓이 공식이 바로 나옵니다.

예시: 반지름 3 cm, 높이 5 cm인 원기둥의 겉넓이는?

2 × π × 3² + 2 × π × 3 × 5 = 18π + 30π = 48π cm² ≈ 150.7 cm²

원기둥의 부피 공식#

원기둥 안에 쌓기나무를 빈틈없이 채운다고 생각합니다.

직육면체의 부피를 구할 때 바닥 넓이 × 높이로 계산했습니다. 원기둥도 똑같습니다. 바닥이 원이니까 바닥 넓이는 πr²입니다.

원기둥의 부피 = πr² × h = πr²h

바닥 넓이에 높이를 곱한다는 생각은 같습니다.

예시: 반지름 2 cm, 높이 6 cm인 원기둥의 부피는?

π × 2² × 6 = π × 4 × 6 = 24π cm³ ≈ 75.4 cm³

원뿔 — 원기둥의 1/3#

아이스크림 콘처럼 아래가 뾰족하고 위는 동그란 원으로 열려 있는 모양을 생각합니다. 이런 모양이 원뿔 (밑면이 원이고 옆면이 한 점에서 만나는 뿔 모양의 입체)입니다.

원뿔의 전개도를 펼치면 밑면 원 1개와 부채꼴 모양의 옆면이 나옵니다.

원뿔과 원기둥의 관계는 숫자로도 확인됩니다.

같은 밑면 반지름 r = 3 cm, 같은 높이 h = 6 cm일 때:

• 원기둥 부피: π × 3² × 6 = 54π cm³
• 원뿔 부피: 54π ÷ 3 = 18π cm³

딱 1/3입니다!

원뿔의 부피 = (1/3)πr²h

예시: 반지름 3 cm, 높이 4 cm인 원뿔의 부피는?

(1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × 36π = 12π cm³ ≈ 37.7 cm³

구의 부피#

축구공처럼 완전히 둥근 입체를 구 (어느 방향에서 잘라도 단면이 원이 되는 완전히 둥근 입체)라고 합니다.

구는 전개도로 펼칠 수 없습니다. 지구본을 세계 지도로 옮기면 반드시 왜곡이 생기는 것처럼, 구의 표면은 완전히 납작하게 펼칠 수 없습니다.

구의 부피 공식은 이후 과정에서 더 자세히 유도하지만, 여기서는 공식의 형태와 사용법을 먼저 정리합니다.

구의 부피 = (4/3)πr³

r은 구의 반지름 (구의 중심에서 표면까지의 거리)입니다.

예시: 반지름 3 cm인 구의 부피는?

(4/3) × π × 3³ = (4/3) × 27π = 36π cm³ ≈ 113.1 cm³

세 입체 부피 공식 한눈에 보기#

원뿔 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥의 1/3입니다. 이 관계를 알면 두 공식이 한 번에 연결됩니다.