원을 잘라서 직사각형으로 만들면 보이는 넓이

원의 둘레를 지름으로 나누면 언제나 3.14쯤 나온다는 사실이 원주율 π의 의미였습니다. 이제 같은 원에서 넓이를 구하는 문제로 넘어갑니다.

"동그란 피자 한 판의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까?"라는 질문에서 출발합니다.

네모난 도형은 가로 × 세로로 쉽게 구합니다. 둥근 원은 조각을 잘라 직사각형에 가깝게 바꾸면 넓이 공식을 설명할 수 있습니다.

원을 잘라 붙이는 모델#

동그란 종이를 피자처럼 똑같은 크기로 자른다고 생각합니다.

먼저 8조각으로 자릅니다. 자른 조각들을 번갈아 뒤집으면서 한 줄로 늘어놓습니다.

위쪽이 뾰족하고 아래쪽이 뾰족한 조각들이 서로 맞물리는 모양입니다. 울퉁불퉁하지만 어딘가 직사각형에 가까운 형태가 보입니다.

16조각, 32조각처럼 더 잘게 자를수록 울퉁불퉁한 부분이 줄어듭니다.

조각을 아주 잘게 자를수록 결과물이 직사각형 (가로와 세로가 모두 직각으로 만나는 네모 도형)에 가까워집니다.

직사각형의 가로와 세로#

조각을 아주 잘게 잘라 만든 직사각형을 자세히 보면 가로와 세로가 원의 요소와 연결됩니다.

세로는 반지름 r입니다.

조각의 뾰족한 끝 길이가 원의 반지름 (r, 원의 중심에서 가장자리까지의 거리)과 같습니다. 그래서 직사각형의 세로 = r입니다.

가로는 원둘레의 절반입니다.

조각들을 한 줄로 늘어놓으면 위쪽 호들을 이어 붙인 길이가 원둘레의 절반이 됩니다. 아래쪽도 마찬가지입니다.

원둘레 = π × 지름 = π × (r × 2)이니까, 그 절반은:

원둘레의 절반 = π × r

따라서 직사각형의 가로 = π × r입니다.

넓이 공식의 유도#

이제 직사각형의 넓이로 원의 넓이를 구할 수 있습니다!

그래서:

원의 넓이 = π × r × r

π (파이)는 원주율을 나타내는 기호이고, r은 반지름을 나타내는 약속 글자입니다.

계산 예시는 다음과 같습니다.

• 반지름이 5 cm인 원: 3.14 × 5 × 5 = 3.14 × 25 = 78.5 cm²
• 반지름이 10 cm인 원: 3.14 × 10 × 10 = 3.14 × 100 = 314 cm²
• 반지름이 15 cm인 피자: 3.14 × 15 × 15 = 3.14 × 225 = 706.5 cm²

반지름이 2배가 되면 넓이는 2 × 2 = 4배가 됩니다. 이 관계는 비례식과도 자연스럽게 연결됩니다.

자주 헷갈리는 점#

둘레 공식과 넓이 공식 혼동: "원둘레 = π × 지름(또는 π × r × 2)"과 "원의 넓이 = π × r × r"은 완전히 다릅니다. 둘레는 원의 테두리 길이이고, 넓이는 원 안쪽 공간의 크기입니다. 둘레 공식에는 반지름이 1번, 넓이 공식에는 반지름이 2번 곱해집니다. "둘레는 r 한 번, 넓이는 r 두 번"으로 구분할 수 있습니다.

지름을 반지름으로 착각: 문제에서 지름이 주어지면 반드시 반지름을 먼저 구해야 합니다. 지름이 12 cm이면 반지름 = 12 ÷ 2 = 6 cm가 먼저입니다.

주요 개념#