사진 비율과 레시피 속에 숨어 있던 수학 — 비와 비율

분수는 두 양의 관계를 나타낼 때도 쓰입니다.

사진의 가로와 세로, 요리 레시피의 물과 쌀 — 두 양을 비교할 때 쓰는 방법이 바로 비와 비율입니다. 비율을 알면 사진을 아무리 크게 키워도 모양이 그대로인 이유, 레시피 분량을 두 배로 늘려도 맛이 변하지 않는 이유를 이해할 수 있습니다.

뺄셈으로 비교하면 생기는 문제#

사진 한 장을 예로 듭니다. 가로가 6칸, 세로가 4칸입니다.

가로에서 세로를 빼면 6 − 4 = 2입니다. 가로가 2칸 더 크다는 사실을 알 수 있습니다.

그런데 이 사진을 두 배로 키우면 가로 12칸, 세로 8칸이 됩니다. 이번에는 12 − 8 = 4입니다. 차이가 달라졌습니다.

같은 모양인데 숫자가 달라지니 불편합니다. 그래서 수학자들은 다른 비교 방법을 생각해 냈습니다.

비 — 두 수를 콜론으로 연결하는 표현#

두 수를 비교하는 방식으로 비 (a:b, "a 대 b"라고 읽습니다)를 쓸 수 있습니다.

• 가로 6, 세로 4 → 6:4 (육 대 사)
• 가로 12, 세로 8 → 12:8 (십이 대 팔)

두 비를 세로 1칸 기준으로 바꾸면 관계가 같다는 점이 드러납니다.

결과가 똑같습니다! 사진을 키워도 모양이 유지되는 이유가 여기 있었던 것입니다.

요리 레시피도 마찬가지입니다. 물 3컵과 쌀 2컵으로 밥을 짓는 레시피라면 비는 물:쌀 = 3:2입니다. 분량을 두 배로 늘려 물 6컵, 쌀 4컵으로 해도 비는 6:4이고, 관계는 변하지 않습니다.

책이나 공책의 가로와 세로도 같은 방식으로 비로 나타낼 수 있습니다. 두 수를 콜론(:)으로 연결하면 두 길이의 관계가 보존됩니다.

비율 — 기준량을 1로 봤을 때의 크기#

비 6:4에서 "세로 1칸 기준으로 가로가 얼마나 되는지" 하나의 수로 나타내고 싶을 때 비율 (기준량에 대한 비교하는 양의 크기, a/b 분수 형식으로 나타냄)을 씁니다.

6:4에서 기준은 세로 4, 비교하는 양은 가로 6입니다.

비율 = 6 ÷ 4 = 6/4 = 3/2

수직선에서 3/2는 1보다 오른쪽에 있습니다.

비율이 1이면 두 양이 같고, 1보다 크면 비교하는 양이 더 큽니다. 3/2 = 1.5이니까 가로가 세로보다 크다는 걸 알 수 있습니다.

요리 레시피로도 확인할 수 있습니다. 물:쌀 = 3:2이면 비율 = 3/2입니다. 쌀 1컵을 기준으로 물은 3/2컵(= 1.5컵)이 필요합니다.

비 3:5의 비율은 분수로 3/5입니다. 앞의 수가 비교하는 양, 뒤의 수가 기준량입니다.

백분율 — 기준을 100으로 맞춘 비율#

비율을 쓰다 보면 분수마다 분모가 달라서 비교하기 어려울 때가 있습니다. 그래서 기준을 항상 100으로 맞춘 표현을 만들었습니다. 이것이 백분율 (기준을 100으로 했을 때의 비율, 비율 × 100으로 구하며 % 기호를 씀)입니다.

비율 → 백분율: 비율 × 100

사진 가로 6, 세로 4의 경우: 비율 3/2 × 100 = 150%입니다. "가로는 세로의 150%"라고 말할 수 있습니다.

우리 생활에서 백분율은 시험 점수, 할인율, 강수 확률 등 아주 많이 쓰입니다.

비율 2/5를 백분율로 바꾸면 2/5 × 100 = 40%입니다.

자주 혼동하는 점#

비와 비율에서 가장 자주 생기는 혼동은 기준량을 바꾸는 것입니다. 가로:세로 = 6:4에서 "가로는 세로의 몇 배인가"를 묻는다면 기준량은 세로 4이고, 비율은 6/4입니다. 반대로 "세로는 가로의 몇 배인가"를 묻는다면 기준량은 가로 6이므로 비율은 4/6이 됩니다.

백분율도 같은 원리입니다. 150%는 "비교하는 양이 기준량의 1.5배"라는 뜻이지, 언제나 100보다 크니 틀렸다는 뜻이 아닙니다. 무엇을 기준으로 삼았는지 먼저 확인해야 합니다.

주요 개념#