12개 블록을 늘어놓다가 약수를 발견했습니다

초5 수학은 약수와 배수에서 출발합니다. 블록 12개를 빈틈없이 직사각형으로 배열하는 경우를 보면, 어떤 수가 12를 나머지 없이 나누는지 자연스럽게 드러납니다.

어떤 수를 나머지 없이 딱 나눌 수 있는 수가 약수이고, 어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 하여 얻은 수가 배수입니다.

약수는 개수가 유한하지만, 배수는 끝없이 이어집니다. 이 차이가 최대공약수와 최소공배수까지 이어지는 기본입니다.

12개 블록에서 보이는 약수#

12개 블록을 직사각형 모양으로 빈틈없이 배열하는 방법은 다음과 같습니다.

• 1줄로 12칸 → 1×12
• 2줄로 6칸 → 2×6
• 3줄로 4칸 → 3×4
• 4줄로 3칸 → 4×3
• 6줄로 2칸 → 6×2
• 12줄로 1칸 → 12×1

총 6가지입니다. 줄 수로 쓴 수들을 모으면 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 수들이 바로 12의 약수입니다.

나눗셈으로 확인하면 모두 나머지가 0입니다.

• 12 ÷ 1 = 12 (나머지 0) ✓
• 12 ÷ 2 = 6 (나머지 0) ✓
• 12 ÷ 3 = 4 (나머지 0) ✓
• 12 ÷ 4 = 3 (나머지 0) ✓
• 12 ÷ 6 = 2 (나머지 0) ✓
• 12 ÷ 12 = 1 (나머지 0) ✓

반면 5는 다릅니다. 12 ÷ 5 = 2 나머지 2입니다. 나머지가 남으니까 5는 12의 약수가 아닙니다.

끝없이 이어지는 배수#

이번에는 개구리가 수직선 위에서 점프합니다. 3칸씩 계속 점프합니다.

0 → 3 → 6 → 9 → 12 → 15 → 18 → ...

이렇게 3씩 더해 나오는 수들, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …을 3의 배수라고 합니다.

4의 배수도 같은 방식입니다.

4×1=4, 4×2=8, 4×3=12, 4×4=16, 4×5=20, …

그래서 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, …입니다.

배수는 끝이 없습니다. 약수는 항상 유한하게 끝납니다. 이 차이가 중요합니다.

공약수와 최대공약수#

12와 18의 약수를 나란히 쓰면 다음과 같습니다.

양쪽에 모두 있는 수는 1, 2, 3, 6입니다.

이렇게 두 수 모두의 약수를 공약수라고 합니다.

그 가운데 가장 큰 수, 6이 바로 최대공약수입니다.

실생활 예시입니다. 사탕 12개와 초콜릿 18개를 학생들에게 남는 것 없이 똑같이 나눠 주려면 최대 6명에게 줄 수 있습니다. 최대공약수가 6이기 때문입니다.

공배수와 최소공배수#

3과 4의 배수를 나란히 쓰면 다음과 같습니다.

양쪽에 모두 나오는 수는 12, 24, 36, …처럼 계속 이어집니다. 표에서는 첫 공통값인 12만 보여도 최소공배수 판단에는 충분합니다.

이렇게 두 수 모두의 배수를 공배수라고 합니다.

그 가운데 가장 작은 수, 12가 바로 최소공배수입니다.

실생활 예시입니다. 버스 A는 3분마다, 버스 B는 4분마다 출발합니다. 두 버스가 동시에 출발한 뒤 다음에 다시 함께 출발하는 시간은 최소공배수인 12분 후입니다.

자주 헷갈리는 점#

공약수와 약수 혼동: "12의 약수"와 "12와 18의 공약수"는 다릅니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 6가지입니다. 하지만 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6으로 4가지입니다. 공약수는 반드시 두 수 모두에 들어 있어야 합니다. "공(共)"이 '함께'를 뜻한다는 걸 기억하면 헷갈리지 않습니다.

최대공약수 = 가장 큰 약수 착각: 12의 가장 큰 약수는 12 자신입니다. 하지만 12와 18의 최대공약수는 6입니다. 최대공약수는 두 수 모두의 공약수 가운데 가장 큰 것이지, 한 수만의 약수 중 가장 큰 것이 아닙니다.

주요 개념#