분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 — 통분으로 단위 맞추기

약분과 통분을 배운 뒤에는 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈으로 이어집니다.

분모가 다른 두 분수를 더하거나 빼려면 통분이 반드시 필요합니다. 이유는 조각의 크기, 즉 단위가 다르기 때문입니다.

크기가 다른 조각을 바로 합칠 수 없는 이유#

피자 두 판이 있습니다.

한 판은 똑같이 2조각으로 잘랐습니다. 그 중 한 조각이 1/2입니다.

다른 한 판은 똑같이 3조각으로 잘랐습니다. 그 중 한 조각이 1/3입니다.

분수 막대를 보면 한 가지가 바로 보입니다. 1/2짜리 조각과 1/3짜리 조각의 크기가 다릅니다.

크기가 다른 조각끼리는 그냥 합칠 수 없습니다. "2조각 + 1조각 = 3조각"이라고 해도, 무엇을 3등분한 3조각인지 알 수 없기 때문입니다.

그래서 두 조각을 같은 크기로 바꿔야 합니다. 이 과정이 통분입니다.

1/2짜리 막대와 1/3짜리 막대를 비교하면, 통분 전에는 조각 하나의 크기부터 다르다는 점이 보입니다.

통분으로 같은 크기의 조각 만들기#

1/2과 1/3을 더하려면, 두 분수의 분모를 같은 수로 바꿔야 합니다.

2와 3의 공배수 (두 수의 공통 배수)를 찾으면 6입니다.

• 1/2 → 분자와 분모에 3을 곱하면 → 3/6
• 1/3 → 분자와 분모에 2를 곱하면 → 2/6

분수 막대로 확인하면 다음과 같습니다.

1/2짜리 한 칸은 1/6짜리 세 칸과 딱 맞습니다. 그래서 1/2 = 3/6입니다. 1/3짜리 한 칸은 1/6짜리 두 칸과 딱 맞습니다. 그래서 1/3 = 2/6입니다.

이제 두 분수가 같은 조각(1/6 단위)으로 바뀌었습니다.

색칠한 칸이 5개이므로 답은 5/6입니다.

6칸짜리 막대에서는 왼쪽 3칸과 그 옆 2칸, 모두 5칸이 색칠된 것으로 해석할 수 있습니다.

수직선에서의 덧셈과 뺄셈#

수직선에서도 확인할 수 있습니다. 0부터 1 사이를 6칸으로 나누면 각 칸이 1/6입니다.

덧셈: 1/2 + 1/3

1/2 = 3/6이니까 0에서 오른쪽으로 3칸 이동합니다. 3/6에 도착했습니다. 거기서 1/3 = 2/6이니까 오른쪽으로 2칸 더 이동합니다.

5/6에 도착했습니다! 1/2 + 1/3 = 5/6입니다.

뺄셈: 5/6 - 1/2

5/6에서 시작해서 1/2 = 3/6이니까 왼쪽으로 3칸 이동합니다.

2/6 = 1/3에 도착했습니다! 5/6 - 1/2 = 1/3입니다.

1/3 + 1/6도 같은 수직선에서 2/6 + 1/6로 바뀌며, 도착점은 3/6 = 1/2입니다.

분수식으로 정리하는 절차#

분수 막대와 수직선으로 눈으로 확인했으니, 이제 분수식으로 절차를 정리합니다.

이분모 분수 덧셈·뺄셈 3단계:

1. 통분 — 두 분수의 분모를 같은 수로 바꿉니다.
2. 분자끼리 연산 — 분자끼리만 더하거나 뺍니다. 분모는 그대로입니다.
3. 약분 — 결과를 약분할 수 있으면 간단히 합니다.

예시 1: 1/2 + 1/3

1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6이므로 3/6 + 2/6 = 5/6입니다.

예시 2: 3/4 - 1/6

4와 6의 공배수는 12입니다.

3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12이므로 9/12 - 2/12 = 7/12입니다.

이분모 분수 (분모가 서로 다른 두 분수)를 더하거나 빼려면, 반드시 통분 먼저입니다!

1/3 + 1/4라면 공통분모 12를 쓰면 됩니다. 4/12 + 3/12 = 7/12입니다.

흔한 오류 — 통분 없이 분자만 더하기#

왜 틀렸는지 핵심은 조각의 크기입니다.

1/2짜리 조각과 1/3짜리 조각은 크기가 다릅니다. 크기가 다른 조각 2개를 합쳐도, 그것이 무엇을 5로 나눈 2조각인지 알 수 없습니다.

5/6은 1/2보다 크지만, 2/5는 1/2보다 작습니다. 통분하지 않은 계산은 이런 크기 감각과도 어긋납니다.

분모는 조각의 크기를 나타냅니다. 통분 없이는 조각 크기가 달라서 합칠 수 없습니다.

주요 개념#