r = a + t·d 한 줄로 직선·평면·꼬임을 한 번에 읽는 법

앞선 글에 벡터를 배웠다. 크기와 방향을 동시에 담은 화살표 양이었고, 두 벡터를 더하거나 빼고 내적을 계산해서 사이 각도까지 구했다.

이 글에서는 그 벡터를 도형 언어로 바꿉니다. "이 직선 위에 있는 점이 무엇인가?"라는 질문을 벡터로 답할 것이다. 좌표 방정식 대신 벡터 방정식을 쓰면 2차원과 3차원을 같은 틀로 다룰 수 있다.

점과 방향으로 도형 읽기#

직선은 r = a + t·d로, 평면은 n·(r − a) = 0으로 — 기준점 하나와 방향 하나면 도형 전체가 결정된다.

벡터 방정식은 수식이 아니라 "어떤 점이 이 직선(또는 평면) 위에 있는가?"를 묻는 언어이다. 이 관점을 먼저 잡으면 나머지 변환(매개변수, 대칭형, 좌표 방정식)은 자연스럽게 따라온다.

직선의 벡터 방정식 — r = a + t·d#

직선을 정의하려면 딱 두 가지가 필요하다. 한 점과 방향. 그게 전부이다.

점 A의 위치벡터를 a = (1, 2, 3), 직선이 뻗어 나가는 방향벡터를 d = (2, −1, 1)이라고 한다. 위치벡터 — 원점에서 어떤 점까지 이어지는 벡터; 점의 좌표와 1:1 대응 — 인 r이 이 직선 위에 있으려면 A에서 출발해 d 방향으로 t만큼 이동한 위치여야 한다.

$$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}, \quad t \in \mathbb{R}$$

기준점 a에서 방향벡터 d를 실수배만큼 더하면 직선 위 모든 점을 만들 수 있다.

t를 바꾸면서 r을 찍어 보면:

t가 연속 실수를 훑으면 이 점들이 하나의 직선을 이루다.

이것을 성분별로 풀면 매개변수 방정식 — 실수 t(매개변수)를 이용해 직선 위의 점 (x, y, z)를 각각 t의 식으로 나타낸 방정식 — 이 나온다.

$$x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 + t$$

벡터 방정식을 좌표별로 풀면 t 하나가 세 좌표를 동시에 움직이는 구조가 보인다.

t를 소거하면 대칭형(표준형) 방정식 — 매개변수 t를 소거하여 (x−a)/d₁ = (y−b)/d₂ = (z−c)/d₃ 꼴로 나타낸 직선 방정식 — 을 얻을 수 있다.

$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$$

세 분수가 같은 값 t를 뜻하므로, 한 매개변수로 연결된 직선을 표현한다.

평면의 벡터 방정식 — n·(r − a) = 0#

평면도 두 가지로 결정된다. 한 점과 법선벡터. 법선벡터 — 평면에 수직으로 꽂히는 벡터; 평면 위의 어떤 벡터와도 내적이 0 — 인 n이 핵심이다.

평면 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 r이라 하면, 벡터 r − a는 평면 위에 놓이므로 법선벡터 n과 수직이다.

$$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{a}) = 0$$

평면 위 방향은 법선벡터와 수직이므로 내적이 0이라는 조건으로 평면을 묶는다.

이것이 평면의 벡터 방정식 — n·(r − a) = 0; 법선벡터 n과 기준점 a로 평면을 정의하는 방정식 — 이다. 성분으로 풀면 ax + by + cz = d 꼴이 나온다.

예시. 점 A = (1, 0, 2), 법선벡터 n = (3, −2, 1):

$$3(x-1) - 2(y-0) + (z-2) = 0 \implies 3x - 2y + z = 5$$

점 하나와 법선벡터를 넣으면 평면 방정식이 좌표식으로 바로 바뀐다.

세 가지 표상을 나란히 보면:

법선벡터 n = (a, b, c)의 성분이 그대로 평면 방정식 ax + by + cz = d의 계수가 된다. 이 대응 관계를 머릿속에 새겨 둔다.

두 직선의 위치 관계 — 평행·교차·꼬임#

3차원 공간에서 두 직선은 어떤 위치 관계를 가지는가?

2차원(평면)에서는 평행하거나 교차하는 두 가지뿐이었다. 3차원에서는 한 가지가 더 추가됩니다. 꼬임 — 3차원 공간에서 두 직선이 평행하지도 않고 교차하지도 않는 위치 관계 — 이다. 같은 평면 위에 놓이지 않아서 "비틀린" 위치에 있다.

직선 ℓ₁: r = a₁ + td₁, 직선 ℓ₂: r = a₂ + sd₂가 있을 때 판별 절차는:

★ 꼬임은 3차원에서만 존재한다.

꼬임 예시. ℓ₁은 x축 방향 (y = 0, z = 0), ℓ₂는 z = 1 높이에서 y축 방향 (x = 0, z = 1). 방향벡터 (1,0,0)과 (0,1,0)은 비례하지 않으므로 평행이 아니다. 교점 방정식을 세우면 z : 0 = 1 — 모순. 따라서 꼬임이다.

두 직선이 교차하는지 확인하려면 a₁ + td₁ = a₂ + sd₂ 연립방정식을 x, y, z 성분에서 풀다. 해가 있으면 교점이 존재, 없으면 꼬임이다.

자주 헷갈리는 점#

점과 평면 사이의 거리#

벡터 방정식을 알면 거리 계산도 깔끔해진다.

점 P₀ = (x₀, y₀, z₀)에서 평면 ax + by + cz = d까지의 거리:

$$\text{거리} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

분자는 점을 평면식에 넣었을 때의 벗어남이고, 분모는 법선벡터의 길이로 단위를 맞춘다.

이 공식은 법선벡터 n = (a, b, c) 방향으로 P₀를 평면에 정사영 — 한 점이나 벡터를 어떤 직선·평면 위로 수직으로 내린 그림자 — 한 길이이다. 내적과 정사영 개념이 여기서 자연스럽게 연결된다.

예시. 점 (1, 1, 1)에서 평면 3x − 2y + z = 5까지의 거리:

$$\text{거리} = \frac{|3(1) - 2(1) + 1(1) - 5|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{|{-3}|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$$

계산 결과는 점에서 평면까지 법선 방향으로 내린 최단 거리다.

주요 개념#