막대를 무한히 쌓으면 곡선 아래 넓이가 된다 — 리만 합에서 정적분으로

앞선 글에 미분계수를 배웠습니다. f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)] / h — 이 극한은 그래프 위 한 점의 접선 기울기, 즉 순간의 변화율을 읽는 도구였습니다.

이 글에서는 정반대 방향의 질문을 던집니다. 순간이 아니라 누적입니다. 곡선 아래에 쌓인 넓이를 어떻게 정확하게 계산하는 방법을 찾는다.

직선으로 이루어진 도형이라면 삼각형·직사각형 공식이 바로 통합니다. 그런데 위쪽 경계가 y = x² 같은 곡선이라면? 그때 등장하는 것이 적분입니다.

막대로 넓이를 근사한다#

y = x² 그래프와 x축 사이, x = 0부터 x = 2까지의 넓이를 구하고 싶다고 합시다. 이 영역은 삼각형도 직사각형도 아닙니다.

아이디어는 단순합니다. 구간을 여러 개의 소구간(구간 [a, b]를 n등분하여 얻은 각각의 작은 x 구간)으로 나누고, 각 소구간 위에 직사각형 막대를 세웁니다. 막대들의 넓이 합이 실제 넓이의 근사값이 됩니다.

n = 4로 시작해 봅시다. [0, 2]를 폭 Δx = 0.5인 4개의 소구간으로 분할하고, 왼쪽 끝점의 함수값을 높이로 삼으면 다음과 같습니다.

합 = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 = 1.75

실제 넓이는 8/3 ≈ 2.667입니다. 막대 4개로는 아직 꽤 차이가 납니다. 막대를 더 많이 세우면 어떻게 되는가?

리만 합 — 일반 공식#

n개의 막대를 일반 기호로 표현해 봅시다.

구간 [a, b]를 n등분하면 각 소구간의 분할 폭(소구간 하나의 폭)은 다음과 같습니다.

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

구간 전체 길이를 n등분해 직사각형 하나의 폭을 정하는 식이다.

k번째 소구간의 왼쪽 끝점은 다음과 같습니다.

$$x_k = a + k \cdot \Delta x \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$$

각 직사각형의 기준점이 왼쪽 끝에서부터 Δx만큼 차례로 이동한다는 뜻이다.

n개 막대의 합 — 이것이 리만 합(소구간마다 세운 직사각형의 넓이를 모두 더한 합)입니다.

$$L_n = \sum_ f(x_k) \cdot \Delta x$$

각 직사각형의 높이와 폭을 곱한 넓이를 모두 더한 값이 리만 합이다.

분할 수 n을 늘릴수록 어떤 일이 생기는가?

n이 커질수록 L_n은 8/3으로 수렴합니다. 막대 수를 무한히 늘리면 — Δx를 0으로 보내면 — 리만 합은 정확한 넓이로 수렴합니다.

정적분 — 극한으로 완성되는 넓이#

이제 극한을 취합니다.

$$\int_a^b f(x),dx = \lim_{n \to \infty} \sum_ f(x_k) \cdot \Delta x$$

정적분은 직사각형을 무한히 잘게 쪼갰을 때 리만 합이 가까워지는 최종 넓이다.

이것이 정적분(리만 합의 n → ∞ 극한값; ∫_a^b f(x) dx로 표기)의 정의입니다.

기호를 천천히 읽어 봅시다.

세 가지 표상을 나란히 대응시키면 다음과 같습니다.

f(x) = x²를 [0, 2]에서 적분하면 ∫_0^2 x² dx = 8/3입니다. 이 값은 리만 합의 극한에서 도달했고, 다음 시간에 배울 미적분의 기본 정리를 이용하면 훨씬 빠르게 계산할 수 있습니다.

오늘 가장 중요한 통찰은 이것입니다: 적분은 무한히 많은 막대의 합이다. 각 막대의 폭이 0에 가까워질수록 합은 정확한 넓이로 수렴합니다.

자주 헷갈리는 점#

고3 수학에서 적분을 처음 배울 때 가장 흔히 나오는 오개념을 짚어 드립니다.

"정적분 = 부정적분과 항상 같음"이라는 잘못된 믿음: 이 글에서 정의한 ∫_a^b f(x) dx(정적분)는 숫자값입니다. 반면 역도함수(부정적분) F(x) + C는 함수입니다. 두 개념은 분명히 다릅니다. 물론 미적분의 기본 정리(앞선 글)에 의해 정적분을 역도함수로 계산할 수 있지만, 그것은 계산 도구의 연결이지 두 개념이 "같다"는 뜻이 아닙니다.

추가로 주의할 점:

• dx를 무시하지 않는다 — dx는 단순한 장식이 아닙니다. 적분 변수가 x임을 표시하고, Δx의 극한적 표현입니다. dx 없이 ∫f(x)로만 쓰면 표기 오류입니다.
• 정적분이 항상 "넓이"는 아닙니다 — f(x) < 0인 구간에서는 직사각형 높이가 음수가 되어 적분값이 음수가 됩니다. 정적분은 "부호 있는 넓이"이며, 진짜 기하 넓이를 구하려면 |f(x)|를 적분해야 합니다. 이는 앞선 글에서 다룹니다.

주요 개념#