적분 하나로 넓이·부피·곡선 길이까지 재는 방법

앞선 글에 미적분의 기본 정리를 배웠다. F'(x) = f(x)이면 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)라는 사실 — 미분과 적분이 역연산이라는 핵심 관계이다.

이 글에서는 그 정리를 도구로 들고 나간다. 정적분 기호 하나로 평면 도형의 넓이, 3차원 회전체의 부피, 구불구불한 곡선의 길이까지 잴 수 있기 때문이다. 그리고 물리학의 힘·속도·운동량이 어떻게 적분과 연결되는지도 살펴본다.

두 곡선 사이 넓이#

두 함수 y = f(x)와 y = g(x)가 같은 구간에서 그려질 때, 두 그래프 사이의 넓이는 어떻게 구할 수 있는가?

윗 곡선의 적분에서 아랫 곡선의 적분을 빼면 된다.

구간 [a, b]에서 f(x) ≥ g(x)일 때:

$$S = \int_a^b \bigl[f(x) - g(x)\bigr], dx$$

위 함수와 아래 함수의 높이 차이를 구간 전체에 걸쳐 누적하면 두 곡선 사이 넓이가 된다.

예제: y = x²과 y = x로 둘러싸인 넓이를 구해 본다.

Step 1. 교점 찾기: x² = x → x(x − 1) = 0 → x = 0, x = 1

Step 2. 구간 [0, 1]에서 위아래 확인: x = 0.5 대입 → x = 0.5 (위), x² = 0.25 (아래). x가 위.

Step 3. 적분:

$$S = \int_0^1 (x - x^2), dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

높이 차이 x-x²를 적분했기 때문에 결과 1/6은 두 곡선 사이의 실제 면적을 뜻한다.

주의할 점이 있다. f(x) ≥ g(x)가 구간 전체에서 성립하지 않을 때는, 부호가 바뀌는 점을 찾아 구간을 나눠야 한다. 각 소구간에서 |f(x) − g(x)|를 적분한 뒤 더한다. 교점 탐색 → 위아래 판별 → 구간 분할 순서를 시험에서도 반드시 밟아야 한다.

연습: y = x²과 y = 2x − x²의 교점을 구하고, 두 곡선 사이 넓이를 계산한다.

회전체 부피 — 디스크를 쌓는 방법#

곡선 y = f(x)를 x축을 중심으로 한 바퀴 돌리면 3차원 입체가 생긴다. 그 부피를 어떻게 구할 수 있는가?

초5에서 쌓기나무로 부피를 구한 경험 기억하는가? 지금도 같은 아이디어이다. 다만 이번에는 얇은 원판(디스크)를 쌓는다.

x = a에서 x = b까지 두께 dx인 원판 하나의 부피 원소는 π[f(x)]² dx이다. 이것을 쌓으면:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2, dx$$

반지름 f(x)인 원판의 넓이 π[f(x)]²을 x방향으로 계속 더한 식이다.

이것을 디스크법(곡선을 회전시켜 만든 회전체의 부피를 원판(디스크)을 적분하여 구하는 방법)이라고 한다.

예제: y = √x를 구간 [0, 4]에서 x축 중심으로 회전시킨 회전체의 부피:

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2, dx = \pi \int_0^4 x, dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$$

제곱 때문에 √x가 x로 정리되어 회전체 부피 계산이 단순한 다항식 적분으로 바뀐다.

초6 때 암기한 구의 부피 공식 V = (4/3)πr³도 디스크법으로 유도할 수 있다. 반지름 r인 구는 y = √(r² − x²)를 [−r, r]에서 회전한 것이다:

$$V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2), dx = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3$$

반원 단면을 회전해 쌓으면 익숙한 구의 부피 공식이 적분에서 나온다.

외워 왔던 공식이 적분으로 증명되는 순간이다.

연습: y = x를 구간 [0, 3]에서 x축 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 디스크법으로 구해 본다. 원뿔의 부피 공식 (1/3)πr²h와 비교한다.

곡선의 길이 — 굽은 선도 잴 수 있다#

자로는 직선만 잴 수 있다. 구불구불한 곡선의 길이는 어떻게 잴 수 있는가?

곡선을 아주 짧은 직선 조각으로 쪼개는 방법을 쓴다. 두 점 P(x, y)와 Q(x+dx, y+dy) 사이의 거리는 피타고라스 정리로:

$$|PQ| \approx \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \cdot dx = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx$$

곡선의 아주 작은 조각을 직선으로 보면 피타고라스 정리로 길이를 근사할 수 있다.

이 짧은 조각들을 [a, b]에서 모두 더하면:

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}, dx$$

작은 길이 조각을 구간 전체에 걸쳐 더한 것이 곡선의 길이 공식이다.

이것이 곡선의 길이 공식(미분 가능한 함수 y = f(x)의 그래프 위 두 점 사이 호의 길이를 계산하는 적분 공식)이다.

예제: y = x^(3/2)를 구간 [0, 4]에서 곡선의 길이:

Step 1. f'(x) = (3/2)x^(1/2) → [f'(x)]² = (9/4)x

Step 2. 적분:

$$L = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x}, dx$$

f(x)=x^{3/2}의 기울기를 넣으면 길이 문제가 이 적분 하나로 정리된다.

Step 3. 치환: u = 1 + (9/4)x → du = (9/4)dx, x = 0 → u = 1, x = 4 → u = 10

$$L = \frac{4}{9} \int_1^{10} \sqrt{u}, du = \frac{4}{9} \cdot \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^{10} = \frac{8}{27}(10\sqrt{10} - 1) \approx 9.07$$

치환 후 적분하면 굽은 곡선의 길이가 약 9.07이라는 수치로 해석된다.

연습: y = (1/2)x²의 구간 [0, 2]에서 곡선의 길이 공식을 세워 본다. (f'(x) = x, [f'(x)]² = x²)

물리로 넘어간다 — 적분은 누적의 언어#

미분이 "순간을 읽는 도구"라면, 적분은 "시간에 걸친 누적을 재는 도구"이다.

변위와 이동 거리

속도 함수 v(t)가 주어졌을 때, 시간 t = a부터 t = b까지의 변위(출발점과 도착점 사이의 위치 변화량)는:

$$\Delta x = \int_a^b v(t), dt$$

속도를 시간에 대해 적분하면 방향을 포함한 위치 변화가 된다.

이동 거리(물체가 실제로 지나간 경로의 전체 길이)는 |v(t)|를 적분해야 한다:

$$\text{이동 거리} = \int_a^b |v(t)|, dt$$

절댓값을 씌우면 뒤로 움직인 구간도 양의 거리로 더해져 실제 이동 거리가 된다.

v(t)의 부호가 바뀌는 구간이 있을 때 변위 ≠ 이동 거리이다. 예를 들어 v(t) = t − 2, t = 0~4에서 변위 = 0이지만 이동 거리 = 2이다.

일과 충격량

스프링 상수 k = 50 N/m인 용수철을 0.1 m 당길 때 한 일은 W = ∫₀^{0.1} 50x dx = (1/2)(50)(0.1)² = 0.25 J이다.

연습: 자동차가 v(t) = 3t (m/s) 속도로 0에서 4초 동안 달렸다. 이 시간 동안의 변위를 구해 본다.

자주 헷갈리는 점#

고3 수학 적분 응용에서 반복적으로 나오는 실수들을 짚어 본다.

회전체 부피 공식에서 제곱 누락: 가장 치명적인 실수이다. V = π∫[f(x)]² dx인데, f(x)²이 아닌 f(x)를 그대로 적분하거나, π를 적분 안에 넣지 않는 경우가 많다. 식을 세울 때마다 "반지름의 제곱"임을 확인한다.

변위와 이동 거리 혼동: v(t)의 부호가 바뀌는 구간이 있으면 변위와 이동 거리는 다르다. "v(t)의 부호가 바뀌는 점이 있는가?"를 먼저 확인하고, 있다면 구간을 나누어 |v(t)|를 각각 적분한다.

곡선 길이 공식에서 f'(x) 혼동: L = ∫√(1 + [f'(x)]²) dx이다. f(x)가 아니라 f'(x)를 제곱해서 루트 안에 넣어야 한다. "도함수의 제곱이 루트 안에"를 기억한다.

주요 개념#