미분하면 되돌아오고, 적분하면 넓이가 된다 — 미적분 기본 정리 완전 정복

앞선 글에 리만 합으로 정적분을 계산했다. f(x) = x² 하나만 해도 Σk² 합 공식을 끌어와야 하는, 꽤 번거로운 과정이었죠.

이 글에서는 그 번거로움을 완전히 없애 주는 열쇠를 만납니다. 미분과 적분이 서로 역연산이라는 사실, 그리고 그것을 수식으로 담은 미적분의 기본 정리(FTC) 이다. 이 정리 하나로 복잡한 리만 합 대신 단 세 줄 계산으로 정적분이 끝납니다.

역연산이라는 출발점#

적분한 뒤 미분하면 원래 함수가 돌아온다. 이것이 미분과 적분이 역연산인 이유이다.

덧셈과 뺄셈이 역연산인 것처럼, 미분과 적분도 서로 되돌리는 관계이다. 이 대칭 구조를 수식으로 표현한 것이 미적분의 기본 정리(FTC)이고, 오늘 글의 핵심이다.

넓이를 x에 따라 쌓으면? — FTC Part 1#

f(t)의 그래프를 생각해 본다. 출발점 a를 고정하고, 오른쪽 경계를 x로 놓으면 x가 오른쪽으로 이동할수록 색칠된 넓이가 쌓인다. 이 누적 넓이를 하나의 함수로 정의한다.

$$F(x) = \int_a^x f(t),dt$$

F(x)는 a에서 x까지 쌓인 넓이를 입력 x에 따라 기록하는 누적 함수다.

여기서 t는 적분 변수(적분 기호 안에서 구간 위치를 나타내는 문자)이다. x는 윗 경계이고, t는 그 안에서 움직이는 위치이다. 둘이 같은 문자를 쓰면 혼란이 생기기 때문에 반드시 구별한다.

x에서 x+h까지 구간을 조금 더 늘리면, 새로 추가된 넓이 조각은 대략 f(x)·h이다. 양변을 h로 나누고 h → 0으로 보내면 미분의 정의 그대로가 나온다.

$$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)$$

누적 넓이를 미분하면 마지막 순간에 추가되는 높이 f(x)가 남는다.

이것이 FTC Part 1(F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 이면 F'(x) = f(x)가 성립한다는 정리)이다.

확인해 본다: F(x) = ∫₀ˣ t² dt 일 때, F'(x)는 무엇일까? FTC Part 1을 그대로 적용하면 F'(x) = x²이다. 계산해 보면 F(x) = x³/3이고, F'(x) = x²로 일치한다.

부정적분 — 미분의 반대 방향#

FTC Part 1을 뒤집어서 생각해 본다. "어떤 함수를 미분하면 f(x)가 될까?"라는 질문이다.

이것을 부정적분(미분하면 주어진 함수가 되는 함수를 구하는 과정)이라고 한다.

$$\int f(x),dx = F(x) + C$$

부정적분은 원래 함수 하나가 아니라 미분하면 f(x)가 되는 함수들의 가족을 찾는 과정이다.

여기서 C는 적분 상수(부정적분 결과에 더해 주는 임의의 상수)이다. 미분하면 상수가 사라지기 때문에, 역방향인 부정적분에서는 C를 꼭 표시해야 한다.

다항함수 부정적분 공식은 미분 공식을 거꾸로 돌린 것이다.

$$\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

지수를 하나 올리고 새 지수로 나누는 이유는 다시 미분했을 때 xⁿ으로 돌아와야 하기 때문이다.

예시로 확인한다.

• ∫ x³ dx = x⁴/4 + C → 확인: (x⁴/4)' = x³ ✓
• ∫ (3x² + 2x - 5) dx = x³ + x² - 5x + C → 확인: 미분하면 3x² + 2x - 5 ✓

합·차·상수배 법칙이 그대로 적용된다. 각 항을 따로따로 적분한 뒤 더한다.

FTC Part 2 — 리만 합을 세 줄로 끝내다#

이제 두 번째 핵심 정리이다. f(x)의 부정적분을 F(x)라고 하면:

$$\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)$$

정적분은 누적량의 끝값에서 시작값을 뺀 변화량으로 계산된다.

이것이 FTC Part 2(∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); 정적분을 부정적분값의 차로 계산하는 정리)이다.

왜 성립하는지 직관으로 본다. G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 로 놓으면 FTC Part 1에서 G'(x) = f(x)이다. F(x)도 f(x)의 부정적분이라면 G와 F는 상수만큼만 차이 난다. G(a) = 0이고 G(b) = ∫ₐᵇ f(t) dt이므로 결국 ∫ₐᵇ f(x) dx = G(b) = F(b) − F(a)이다.

표기 관습으로 대괄호를 쓴다.

$$\int_a^b f(x),dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$

대괄호 표기는 b에서의 값과 a에서의 값을 차례로 대입해 빼라는 계산 지시다.

실제 계산을 완전히 해본다.

$$\int_1^3 (x^2 + 1),dx$$

이 예시는 곡선 아래 넓이를 부정적분값의 차로 바꾸는 연습이다.

① 부정적분: F(x) = x³/3 + x (C는 F(b)−F(a)에서 상쇄되므로 생략)

② 대괄호: [x³/3 + x]₁³

③ F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1/3 + 1) = 12 − 4/3 = 32/3

리만 합 없이 세 단계 만에 끝났다!

미분 ↔ 적분 역연산 구조#

FTC 두 파트를 놓으면 깔끔한 대칭이 보인다.

이 역연산 관계 덕분에 "넓이 계산"이 "함수 역탐색"으로 바뀐다. 리만 합이라는 번거로운 덧셈 대신, 부정적분 하나만 찾으면 어떤 구간의 넓이든 즉시 계산할 수 있다.

자주 헷갈리는 점#

다른 주요 실수들도 알아 둔다.

• 부정적분에서 C 빠뜨리기: 정적분에서는 C가 사라지지만, 부정적분 표현에서 C를 생략하는 것은 오류이다. 답안에서 감점 원인 1위이다.
• 적분 변수와 상한 혼동: ∫ₐˣ f(x) dx 표기에서 x가 두 역할을 동시에 하면 혼란이 생긴다. 반드시 ∫ₐˣ f(t) dt처럼 별도 문자를 써야 한다.
• 지수 공식 방향 혼동: 미분은 지수를 내리고 1 감소, 적분은 지수를 1 올리고 새 지수로 나눈다. ∫x³ dx = x²/2+C로 잘못 계산하는 경우가 빈발한다.

주요 개념#