진동과 파동 방정식

그네, 스피커 진동판, 줄 위의 파동은 모두 반복되는 운동입니다. 차이는 반복이 한 물체의 위치 변화로 나타나는지, 아니면 공간을 따라 퍼지는 모양 변화로 나타나는지에 있습니다. 단진동은 시간 함수로, 진행파는 위치와 시간을 함께 가진 함수로 써야 합니다.

파동을 함수로 쓰는 이유는 “어느 순간 어디가 얼마나 변위되었는가”를 한 번에 말하기 위해서입니다. 이때 진폭, 각진동수, 위상, 파장, 파동 속도는 서로 다른 정보를 담습니다. 기호를 섞으면 그래프 해석이 바로 흔들립니다.

오늘의 한 문장#

진동은 시간에 따른 반복 운동이고, 파동은 그 반복 상태가 공간을 따라 전달되는 현상입니다.

꼭 익힐 말#

진폭 A는 최대 변위, ω는 시간당 위상 변화율, φ는 처음 상태를 정하는 초기 위상입니다. 파동에서는 y가 매질 입자의 변위이고, 파동 속도 v, 주파수 f, 파장 λ가 진행 속도와 공간 주기를 연결합니다.

단진동과 진행파 구분하기#

단진동은 한 점의 운동을 봅니다. 용수철 진동에서 물체 위치가 x(t)로 바뀌며, 평형점에서 멀어질수록 복원력이 커진다는 조건이 필요합니다. 마찰이 작고 진폭이 너무 크지 않을 때 단순한 사인·코사인 함수가 잘 맞습니다.

진행파는 공간의 여러 점이 서로 다른 위상으로 진동하는 현상입니다. y(x,t)에서 x는 위치, t는 시간입니다. 같은 위상인 두 점 사이 거리가 파장 λ이고, 한 점이 한 번 진동하는 데 걸리는 시간이 주기 T입니다.

경계 조건과 수식 읽기#

• x(t) = A cos(ωt + φ): 한 물체의 단진동 위치입니다. φ가 달라지면 출발 위치와 운동 방향이 달라집니다.
• v = fλ: 파동이 한 주기 동안 한 파장만큼 이동한다는 뜻입니다. 매질이 정해지면 보통 파동 속도가 먼저 정해집니다.
• ∂²y/∂x² = (1/v²) ∂²y/∂t²: 이상적인 줄이나 매질에서 파동 함수가 만족하는 관계입니다. 왼쪽은 공간적 휘어짐, 오른쪽은 시간적 가속 변화와 연결됩니다.

고정된 줄의 끝은 움직일 수 없으므로 그 지점은 마디가 됩니다. 양끝 고정 줄에서는 길이 L 안에 반파장이 정수 개 들어가야 하므로 허용되는 정상파만 남습니다. 열린 끝이나 닫힌 끝을 가진 관에서는 경계 조건이 달라져 가능한 파장이 달라집니다.

예시와 오개념#

주파수 440 Hz인 소리가 공기 중에서 340 m/s로 진행하면 파장은 λ = v/f ≈ 0.77 m입니다. 같은 음이 물속으로 들어가면 매질이 달라져 속도와 파장이 바뀌지만, 발생원이 정한 주파수는 경계에서 그대로 유지됩니다.

오개념은 파동이 진행하면 매질 입자도 그 방향으로 계속 이동한다고 생각하는 것입니다. 줄파동에서 줄의 작은 부분은 주로 위아래로 진동하고, 에너지와 파형이 옆으로 전달됩니다. 또 진폭이 크다고 반드시 파동 속도가 큰 것은 아닙니다. 많은 선형 파동에서 속도는 매질의 성질이 정합니다.